Existenz und Eindeutigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sind für die folgenden Gleichungen die Bedingungen für den Satz von Picard-Lindelöf bzw. Peano erfüllt? Was folgt darauß für die AWP?
y'=xy, y(0)=0, x [mm] \in \IR, [/mm] -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 (1)
y'=xy, y(0)=0, -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1, -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 (2) |
Hallo Leute
Picard-Lindelöf besagt:
Wenn y' = f(x,y) = xy stetig ist auf gegebenen Intervall, das AWP im Intervall liegt und f(x,y) die Lipschitz Bedingung erfüllt, dann ex. genau eine Lösung für das AWP.
Mein Problem ist nun folgendes:
In beiden Fällen sind alle drei Bedingungen meiner Meinung nach erfüllt, denn y(0)=0 liegt im gegebenen Intervall, stetig ist f(x,y), da es ein Polynom ist und allgemein Polynome stetig sind. Die Lipschitz Bedingung ist auch erfüllt, denn nach MWS gilt:
[mm] |f(x,y_{2}-f(x,y_{1})| [/mm] = x * [mm] |y_{2}-y_{1}|
[/mm]
Meine Schlussfolgerung:
Es existiert genau eine Lösung für das AWP und diese ist y(x)=0
Aber ich glaube diese Aufgabe würde nicht gestellt werden, wenn zwischen (1) und (2) kein Unterschied ist, daher würde ich gern wissen:
1. Was ich falsch mache
2. Wie man an solche Probleme im allgemeinen geschickt heran geht
Vielen Dank
Woodstock
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Do 26.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast noch nicht ganz verstanden, was "lipschitzbedingung bezgl. y" bedeutet:
$ [mm] |f(x,y_{2}-f(x,y_{1})| [/mm] $ [mm] \le [/mm] L $ [mm] |y_{2}-y_{1}| [/mm] $
Schau mal was Du geschrieben hast.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob du richtig gelesen hast, aber korregiere mich, wenn ich falsch liege.
Lipschitz Bedingung besagt genau das, was du geschrieben hast. Auf mein Beispiel angewannt, kann man zeigen:
Sei x beliebig im Intervall, aber fest, dann gilt
[mm] |f(x,y_{2})-f(x,y_{1})| [/mm] = [mm] f_{y}(p) [/mm] * [mm] |y_{2}-y_{1}| [/mm] ; [mm] y_{1} \le [/mm] p [mm] \le y_{2} [/mm] (nach Mittelwertsatz MWS)
= x * [mm] |y_{2}-y_{1}| [/mm]
Wähle L = max( x ) , die so gefunden werden.
[mm] |f(x,y_{2})-f(x,y_{1})| \le [/mm] L* [mm] |y_{2}-y_{1}| [/mm] ; [mm] \forall [/mm] x
Auf diese Art meinte ich es im ersten Artikel. Was mache ich hier falsch?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Do 26.06.2008 | | Autor: | max3000 |
In der ersten Aufgabe ist [mm] max(x)=\infty, [/mm] also ist Picard Lindelöff nicht anwendbar. Also müsste es mit Peano gehen.
In der zweiten Aufgabe ist max(x)=1, und damit ist Picard-Lindelöff erfüllt.
Oder wo liegt jetzt das Problem?
|
|
|
| |
|
Hallo
Mhh, ich glaube so könnte es natürlich sein. Für mich gehört [mm] \infty [/mm] nicht zu den reellen Zahlen, deshalb dachte ich das es für alle x [mm] \in \IR [/mm] möglich ist ein L zu finden. Ist es im allgemeinen so, dass [mm] \infty \in \IR [/mm] ist? Denn in einer Vorlesung stand einmal an der Tafel:
A [mm] \in [-\infty,\infty] =\IR\cup [/mm] { [mm] -\infty,\infty [/mm] }
Seit dem gehört es für mich nicht zu [mm] \R.
[/mm]
Und wenn es so ist, wie formuliere ich es, dass es nicht Lipschitz ist?
Vielen Dank aber für deine Antwort.
Gruß
Woodstock
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Fr 27.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Der Satz von Peano garantiert nur die Existenz einer Lösung !!
Es gibt verschiedene Versionen des Satzes von Picard - Lindelöf
(........ f genügt einer "lokalen" Lip. - Bedingung.....).
Hattet Ihr sowas ?
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo
Also wir hatten:
Picard-Lindelöf:
Sei y'=f(x,y)
Ist f(x,y) eine stetige reellwertige Funktion auf einem Gebiet und ex. eine Konstante L>0 mit
[mm] |f(x,y_{2}))-f(x,y_{1})\le L*|y_{2}-y_{1}|; \forall (x,y_{2}),(x,y_{1}) [/mm] aus dem Gebiet, dann ex genau eine Lösung der DGL auf einem kleineren Intervall.
Für mich bedeutet das:
1. Finde raus, ob f stetig ist und 2. diese Lipschitz Bedingung erfüllt ist!
Kannst du mir bitte noch auf meine letzte Frage antworten mit dem unendlichen? Und natürlich mir einen Hinweis geben!
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 So 29.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
