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Existenz eines Potentials: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:48 Do 13.08.2015
Autor: Robienchen

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Integrabilitätsbedingungen eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Potentials zum Vektorfeld g : [mm] \IR3 \to \IR3 [/mm] sind.

im [mm] \IR3 [/mm] ist die IB ja [mm] rot\vec{g} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm]
aber wie zeigt man dass diese vorraussetzung notwendig ist?

        
Bezug
Existenz eines Potentials: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Do 13.08.2015
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass die Integrabilitätsbedingungen eine
> notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Potentials
> zum Vektorfeld g : [mm]\IR3 \to \IR3[/mm] sind.
>  im [mm]\IR3[/mm] ist die IB ja [mm]rot\vec{g}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>  aber wie zeigt man dass diese vorraussetzung notwendig
> ist?

Sei also [mm] $g=(g_1,g_2,g_3): \IR^3 \to \IR^3$ [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld und $g$ habe auf [mm] \IR^3 [/mm] die Stammfunktion $G: [mm] \IR^3 \to \IR$. [/mm]

Dann ist $G$ zweimal stetig differenzierbar.

Eine der IBen lautet:

(*)   [mm] \bruch{\partial g_1}{\partial y} [/mm] =  [mm] \bruch{\partial g_2}{\partial x}. [/mm]


Wir zeigen (*):

Es ist   [mm] \bruch{\partial G}{\partial x}=g_1 [/mm] und [mm] \bruch{\partial G}{\partial y}=g_2. [/mm]

Somit:

[mm] \bruch{\partial g_1}{\partial y}= \bruch{\partial^2 G}{\partial y \partial x}= \bruch{\partial^2 G}{\partial x \partial y}= \bruch{\partial g_2}{\partial x}. [/mm]

Das mittlere "=" gilt wegen des Satzes von Schwarz.

Jetzt zeige Du den Rest.

FRED


FRED



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