Existenz einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:48 Fr 13.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
zeige: Zu [mm] h_{0}, h_{1} \varepsilon \IC [/mm] existiert eine Funktion F [mm] \varepsilon \IC [/mm] mit F(x) = [mm] h_{0}(x) [/mm] für alle x [mm] \le [/mm] 0 und F(x) = [mm] h_{1}(x) [/mm] für alle x [mm] \ge [/mm] 1.
Und noch eine Frage: Bei dieser Aufgaben habe ich mir überlegt, ob man nicht mit der Funktion
f(x)= 0 für x [mm] \le [/mm] 0
exp [mm] (-\bruch{1}{x}) [/mm] für x > 0
die bei uns in der Vorlesung als unendlich oft differenzierbar ausgelegt wurde, arbeiten kann.
Vielleicht kommt man ja durch drehen oder spiegeln auf die Lösung....
Ansonsten könnte ich hilfe gebrauchen!
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Fr 13.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das kann nicht die ganze Aufgabe sein!
irgendwas muss doch noch ueber h0 und h1 vorausgesetzt sein, sonst nimm einfach h0=h1.
soll dein [mm] \IC [/mm] die komplexen zahlen sein, oder der Raum der unendlich oft diffb. Fkt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Also es handelt sich um den unendlich oft diffbaren Raum von [mm] \IC. [/mm] Da hast du recht aber über h0 und h1 steht nichts mehr drin außer dass was ich geschrieben habe. Das ist nämlich auch mein Problem...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
wenn [mm] h_0\in C^\infty((-\infty,1]) [/mm] und [mm] h_1\in C^\infty([1,+\infty)) [/mm] sind, d.h. wenn sich alle Ableitungen stetig nach 0 bzw 1 fortsetzen, dann kommst weiter. In diesem Fall kannst Du [mm] h_0 [/mm] und [mm] h_1 [/mm] etwas in das Intervall (0,1) hinein glatt fortsetzen. Benutze dazu den Satz, dass sich zu jeder Folge komplexer Zahlen ein [mm] \epsilon>0 [/mm] und eine glatte Funktion auf [mm] (-\epsilon,\epsilon) [/mm] findet, die diese Folge als Ableitungen bei Null hat. Wenn Du das gemacht hast, mußt Du nur noch die Funktionen beide glatt auf Null herunterbringen und bist fertig. Alternativ kannst Du wahrscheinlich auch den Beweis des Satzes so modifizieren, dass er Deine Aufgabe löst. Viel Erfolg, Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 15.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Das verstehe ich irgendwie nicht so ganz?
Also ich weiß echt nicht wie da ran gehen soll und was heißt "in das intervall glatt fortsetzen"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 So 15.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
glatt fortsetzen soll heißen, dass ein [mm] \epsilon>0 [/mm] und eine [mm] $C^\infty$-Funktion \tilde{h}_0 [/mm] auf [mm] (-\infty,\epsilon) [/mm] existieren, s.d. [mm] \tilde{h}_0(x)=h_0(x) [/mm] für alle [mm] x\leq [/mm] 0. Analog für [mm] h_1. [/mm] Wenn Du das hast, kannst Du [mm] $\tilde{h}_0$ [/mm] mit einer glatten Funktion [mm] \chi [/mm] multiplizieren, die [mm] \chi(x)=1 [/mm] für [mm] x\leq \frac{\epsilon}{3} [/mm] und [mm] \chi(x)=0 [/mm] für [mm] x\geq \frac{2\epsilon}{3} [/mm] ist. Dann ist [mm] \chi\tilde{h}_0 [/mm] die gesucht Fortsetzung auf der linken Seite. Nimm vielleicht erstmal an, das alle Ableitungen von [mm] h_0 [/mm] an der Stelle 0 verschwinden. Dann kannst Du nämlich durch die konstante Funktion [mm] h_0(0) [/mm] fortsetzen. Im allgemeinen kannst Du den Satz über die Existenz von Funktionen mit beliebigen Ableitungen bei 0 benutzen, für den ich aber leider gerade keine Referenz finde.
Volker
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