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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Existenz eindeutiger Lösung
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Existenz eindeutiger Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Mo 21.05.2012
Autor: NightmareVirus

Aufgabe
Zeigen Sie, dass das AWP

[mm]x' = t*sin(\frac{1}{tx}),\; x(1) = 2[/mm]

eine eindeutige Lösung auf dem Intervall (0,2) besitzt.


Diese Aufgabe läuft ja vermutlich auf die Anwendung des Satzes von Picard-Lindelöf hinaus. Das heisst ich verusche zunächst die Lipschitz-Stetigkeit von [mm]t*sin(\frac{1}{tx})[/mm].
Dazu habe ich mir nun folgendes überlegt:

Sei [mm] f: \mathbb{R}\times(0,2) \mapsto \mathbb{R}: \; (t,x) -> t*sin(\frac{1}{tx})[/mm].

Es ist [mm]\frac{d}{dx}f \;=\; ... \;=\; -\frac{cos(\frac{1}{tx}}{x^2}[/mm].

f ist global-lipschitzstetig auf (0,2), denn die partielle Ableitung [mm]d/dx f[/mm] ist betragsmäßig nach oben beschränkt:

[mm]|\frac{d}{dx}f| = |-\frac{cos(\frac{1}{tx}}{x^2}| = -\frac{|cos(\frac{1}{tx}|}{|x^2|} \leq \frac{1}{|x^2|} < \infty[/mm]
Letzte Ungleichung gilt aufgrund des vorgegebenen Intervalls (0,2).


Passt das so als Nachweis der Liptschitzstetigkeit?!

Dann kann ich ja direkt die globale Version des Picard-Lindelöf-Satzes anwenden und habe ide Behauptung gezeigt.

        
Bezug
Existenz eindeutiger Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Mo 21.05.2012
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass das AWP
>  
> [mm]x' = t*sin(\frac{1}{tx}),\; x(1) = 2[/mm]
>  
> eine eindeutige Lösung auf dem Intervall (0,2) besitzt.
>  
> Diese Aufgabe läuft ja vermutlich auf die Anwendung des
> Satzes von Picard-Lindelöf hinaus.

So ist es.

> Das heisst ich verusche
> zunächst die Lipschitz-Stetigkeit von
> [mm]t*sin(\frac{1}{tx})[/mm].
>  Dazu habe ich mir nun folgendes überlegt:
>  
> Sei [mm]f: \mathbb{R}\times(0,2) \mapsto \mathbb{R}: \; (t,x) -> t*sin(\frac{1}{tx})[/mm].

Das stimmt schon mal nicht. Es ist t [mm] \in [/mm] (0,2), somit ist f auf (0,2) [mm] \times \IR [/mm] \  { 0 } definiert.


>  
> Es ist [mm]\frac{d}{dx}f \;=\; ... \;=\; -\frac{cos(\frac{1}{tx}}{x^2}[/mm].
>  
> f ist global-lipschitzstetig auf (0,2), denn die partielle
> Ableitung [mm]d/dx f[/mm] ist betragsmäßig nach oben beschränkt:
>  
> [mm]|\frac{d}{dx}f| = |-\frac{cos(\frac{1}{tx}}{x^2}| = -\frac{|cos(\frac{1}{tx}|}{|x^2|} \leq \frac{1}{|x^2|} < \infty[/mm]
>  
> Letzte Ungleichung gilt aufgrund des vorgegebenen
> Intervalls (0,2).
>  
>
> Passt das so als Nachweis der Liptschitzstetigkeit?!

Nein, wie gesagt: t [mm] \in [/mm] (0,2)

FRED

>  
> Dann kann ich ja direkt die globale Version des
> Picard-Lindelöf-Satzes anwenden und habe ide Behauptung
> gezeigt.


Bezug
                
Bezug
Existenz eindeutiger Lösung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:34 Mo 21.05.2012
Autor: NightmareVirus

Ok. Dann schränken wir also [mm]t[/mm] auf dem Intervall (0,2) ein. Das bedeutet aber gleichzeitig, dass die Funktion f nicht Lipschitz-stetig ist auf [mm](0,\infty)[/mm], denn die Ableitung wird in der Nähe von 0 beliebig groß. Damit kann ich den Satz von P-L nicht anwenden.

Also nochmal zum Verständis:
Ich bilde doch Differenzenquotienten der Funktion (also
die Ableitung) und zeige, dass diese nach oben beschränkt ist.

Das funktioniert hier aber nicht. Irgendwelche Tipps?


Bezug
                        
Bezug
Existenz eindeutiger Lösung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mi 23.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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