Existenz Potentialfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \phi:\IR_+\rightarrow\IR [/mm] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass [mm] v(x)=\phi(\left\Vert x\right\Vert)x,x\not=0, [/mm] eine Potentialfunktion besitzt. |
Ich führe mal meinen Ansatz an, in der Hoffnung, dass ihn jemand kommentiert:
Sei [mm] \psi(r) [/mm] Stammfunktion von [mm] \phi(r)r, [/mm] r>0, d.h.
[mm] \psi'(r)=r*\phi(r).
[/mm]
mit [mm] r=\left\Vert x\right\Vert=(\summe_{i=1}^{n}x^2)^{1/2}.
[/mm]
Damit folgt:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_i} \psi(\left\Vert x\right\Vert)= \psi'(\left\Vert x\right\Vert)*\bruch{x_i}{\left\Vert x\right\Vert}=r*\phi(r)*\bruch{x_i}{r}=\phi(\left\Vert x\right\Vert)*x_i
[/mm]
Nun berechnete ich
[mm] \nabla \times \nabla \psi= \begin{pmatrix} \bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \phi(\left\Vert x\right\Vert)*x \\ \phi(\left\Vert x\right\Vert)*y \\ \phi(\left\Vert x\right\Vert)*z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{\phi'(\left\Vert x\right\Vert)*z*y}{\left\Vert x\right\Vert}- \bruch{\phi'(\left\Vert x\right\Vert)*y*z}{\left\Vert x\right\Vert}\\ \bruch{\phi'(\left\Vert x\right\Vert)*x*z}{\left\Vert x\right\Vert}- \bruch{\phi'(\left\Vert x\right\Vert)*z*x}{\left\Vert x\right\Vert} \\ \bruch{\phi'(\left\Vert x\right\Vert)*y*x}{\left\Vert x\right\Vert}- \bruch{\phi'(\left\Vert x\right\Vert)*x*y}{\left\Vert x\right\Vert} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Ist das so korrekt?
Kann hier hier überhaupt die Rotation verwenden?
Habe die Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
Freu mich auf/über Antworten!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 24.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich mal gehe davon aus, dass mein Ansatz richtig ist, da ich nicht genau weiß, ob die Integrabilitätsbedingungen falsch angewendet wurden? Sterförmig ist das Gebiet jedenfalls, nur scheint mir der Lösungsweg nicht intuitiv richtig, da [mm] \phi [/mm] keine vektorwertige Funktion, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 10.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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