Exist. Richtungsableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Untersuche f: [mm] \IR^{2} \to \IR; [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2} +y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \end{cases} [/mm] auf totale Differenzierbarkeit und Existenz aller Richtungsableitungen. |
Hallo.
Beim ersten Teil, also totale Diffbarkeit komme ich gut klar. Aber bei der Existenz aller Richtungsableitungen hab ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand einen Ansatz nennen könnte.
Viele Grüße.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuche f: [mm]\IR^{2} \to \IR;[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2} +y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \end{cases}[/mm]
> auf totale Differenzierbarkeit und Existenz aller
> Richtungsableitungen.
> Hallo.
> Beim ersten Teil, also totale Diffbarkeit komme ich gut
> klar. Aber bei der Existenz aller Richtungsableitungen hab
> ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand einen Ansatz nennen
> könnte.
nimm' die Definition:
![[]](/images/popup.gif) Definition 19.3
Eine Richtung $r [mm] \in \IR^2$ [/mm] hat nach Definition 19.1 die [mm] $\|r\|_2=1\,.$ [/mm] Also kannst
Du
[mm] $r=(r_1,\,r_2)$ [/mm] mit [mm] $r_1^2+r_2^2=1$
[/mm]
schreiben - oder gar
[mm] $r=\|r\|_2*(\cos(\phi),\;\sin(\phi))=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))$ [/mm] mit einem geeigneten $0 [mm] \le \phi [/mm] < [mm] 2\pi$ [/mm] fest.
Du startest also mit (am Besten auch Fallunterscheidung: [mm] $(x_0,y_0)=(0,0)$ [/mm] bzw. [mm] $(x_0,y_0) \not=(0,0)$):
[/mm]
Sei [mm] $(x_0,y_0) \in \IR^2$ [/mm] fest und [mm] $(r_1,r_2) \in \IR^2$ [/mm] eine Richtung, also es gelte
[mm] ${r_1}^2+{r_2}^2=1\,.$
[/mm]
Dann ist im Falle [mm] $(x_0,y_0)=(0,0)$ [/mm] bzw. [mm] $x_0=y_0=0$ [/mm] die Existenz folgendes
Grenzwertes zu untersuchen (bzw. im Falle der Existenz rechnen wir ihn
auch aus):
[mm] $\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0,y_0)+t*(r_1,r_2)\red{)}-\overbrace{f\red{(}(x_0,y_0)\red{)}}^{=0}}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0+t*r_1,\;y_0+t*r_2)\red{)}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^{2}}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}}{t}$
[/mm]
[mm] $\;\stackrel{x_0=y_0=0}{=}\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(t*r_1)*(t*r_2)^{2}}{(t*r_1)^2+(t*r_2)^4}}{t}=...$
[/mm]
Und ich habe die roten Klammern deswegen benutzt, damit Du siehst, dass
zwischen ihnen das Argument der Funktion, welches hier ja ein Element des
[mm] $\IR^2\,,$ [/mm] bei mir in Zeilennotation, ist, deutlicher zu erkennen ist.
P.S. Für [mm] $(x_0,y_0) \not=(0,0)$ [/mm] kannst Du es Dir oben eventuell einfacher machen.
Schau' mal, ob Du Satz 20.1 anwenden darfst.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Hallo,
>
> > Untersuche f: [mm]\IR^{2} \to \IR;[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2} +y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \end{cases}[/mm]
> > auf totale Differenzierbarkeit und Existenz aller
> > Richtungsableitungen.
> > Hallo.
> > Beim ersten Teil, also totale Diffbarkeit komme ich gut
> > klar. Aber bei der Existenz aller Richtungsableitungen hab
> > ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand einen Ansatz nennen
> > könnte.
>
> nimm' die Definition:
>
> Definition 19.3
>
> Eine Richtung [mm]r \in \IR^2[/mm] hat nach Definition 19.1 die
> [mm]\|r\|_2=1\,.[/mm] Also kannst
> Du
>
> [mm]r=(r_1,\,r_2)[/mm] mit [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm]
>
> schreiben - oder gar
>
> [mm]r=\|r\|_2*(\cos(\phi),\;\sin(\phi))=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))[/mm]
> mit einem geeigneten [mm]0 \le \phi < 2\pi[/mm] fest.
Ok, das habe ich verstanden.
>
> Du startest also mit (am Besten auch Fallunterscheidung:
> [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]):
> Sei [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm]
> fest und [mm](r_1,r_2) \in \IR^2[/mm] eine Richtung, also es gelte
>
> [mm]{r_1}^2+{r_2}^2=1\,.[/mm]
>
> Dann ist im Falle [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm]x_0=y_0=0[/mm] die
> Existenz folgendes
> Grenzwertes zu untersuchen (bzw. im Falle der Existenz
> rechnen wir ihn
> auch aus):
>
> [mm]\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0,y_0)+t*(r_1,r_2)\red{)}-\overbrace{f\red{(}(x_0,y_0)\red{)}}^{=0}}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0+t*r_1,\;y_0+t*r_2)\red{)}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^{2}}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}}{t}[/mm]
>
> [mm]\;\stackrel{x_0=y_0=0}{=}\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(t*r_1)*(t*r_2)^{2}}{(t*r_1)^2+(t*r_2)^4}}{t}=...[/mm]
Soweit klar. Ich habe weiter gerechnet und komme auf [mm] \lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}} [/mm] Dieser Grenzwert geht, je nachdem welches VZ [mm] r_{1} [/mm] hat, gegen [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] Also er existiert nicht. Was kann ich jetzt daraus ableiten?
>
>
> Und ich habe die roten Klammern deswegen benutzt, damit Du
> siehst, dass
> zwischen ihnen das Argument der Funktion, welches hier ja
> ein Element des
> [mm]\IR^2\,,[/mm] bei mir in Zeilennotation, ist, deutlicher zu
> erkennen ist.
>
> P.S. Für [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm] kannst Du es Dir oben
> eventuell einfacher machen.
> Schau' mal, ob Du Satz 20.1 anwenden darfst.
Ich denke schon, dass ich den Satz anwenden darf, da M [mm] \in \IR^{2} [/mm] und die Diffbarkeit in (0,0) habe ich im ersten Teil der Aufgabe gezeigt.
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> > Hallo,
> >
> > > Untersuche f: [mm]\IR^{2} \to \IR;[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2} +y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \end{cases}[/mm]
> > > auf totale Differenzierbarkeit und Existenz aller
> > > Richtungsableitungen.
> > > Hallo.
> > > Beim ersten Teil, also totale Diffbarkeit komme ich
> gut
> > > klar. Aber bei der Existenz aller Richtungsableitungen hab
> > > ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand einen Ansatz nennen
> > > könnte.
> >
> > nimm' die Definition:
> >
> >
> Definition 19.3
>
> >
> > Eine Richtung [mm]r \in \IR^2[/mm] hat nach Definition 19.1 die
> > [mm]\|r\|_2=1\,.[/mm] Also kannst
> > Du
> >
> > [mm]r=(r_1,\,r_2)[/mm] mit [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm]
> >
> > schreiben - oder gar
> >
> >
> [mm]r=\|r\|_2*(\cos(\phi),\;\sin(\phi))=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))[/mm]
> > mit einem geeigneten [mm]0 \le \phi < 2\pi[/mm] fest.
>
> Ok, das habe ich verstanden.
> >
> > Du startest also mit (am Besten auch Fallunterscheidung:
> > [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]):
> > Sei
> [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm]
> > fest und [mm](r_1,r_2) \in \IR^2[/mm] eine Richtung, also es gelte
> >
> > [mm]{r_1}^2+{r_2}^2=1\,.[/mm]
> >
> > Dann ist im Falle [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm]x_0=y_0=0[/mm] die
> > Existenz folgendes
> > Grenzwertes zu untersuchen (bzw. im Falle der Existenz
> > rechnen wir ihn
> > auch aus):
> >
> > [mm]\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0,y_0)+t*(r_1,r_2)\red{)}-\overbrace{f\red{(}(x_0,y_0)\red{)}}^{=0}}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0+t*r_1,\;y_0+t*r_2)\red{)}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^{2}}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}}{t}[/mm]
>
> >
> > [mm]\;\stackrel{x_0=y_0=0}{=}\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(t*r_1)*(t*r_2)^{2}}{(t*r_1)^2+(t*r_2)^4}}{t}=...[/mm]
>
> Soweit klar. Ich habe weiter gerechnet und komme auf
> [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}[/mm]
> Dieser Grenzwert geht, je nachdem welches VZ [mm]r_{1}[/mm] hat,
> gegen [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] Also er existiert nicht.
1. Eine schlechte Nachricht: Grenzwerte gehen nicht, sie sind.
2. Eine gute Nachricht: Deine Rechnung stimmt.
3. Eine schlechte Nachricht: Deine Behauptung stimmt nicht:
Fall a): Für [mm] $r_1=0$ [/mm] ist [mm] $r_2 \not=0$ [/mm] (warum?) und dann ist
[mm] $\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}\bruch{0}{0+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}0=0\,.$
[/mm]
Fall b): Sei [mm] $r_1 \not=0\,,$ [/mm] dann
[mm] $\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+\lim\limits_{t \to 0}t^{2}*r_{2}^{4}}=...$?
[/mm]
Wie Du oben auf [mm] $+\infty$ [/mm] und [mm] $-\infty$ [/mm] kamst, weiß ich nicht. Ich kann hier
die Existenz aller Richtungsableitungen in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] begründen (das beantwortet
auch die Frage, was man nun daraus ableiten kann).
> Was kann ich jetzt daraus ableiten?
>
> >
> >
> > Und ich habe die roten Klammern deswegen benutzt, damit Du
> > siehst, dass
> > zwischen ihnen das Argument der Funktion, welches hier
> ja
> > ein Element des
> > [mm]\IR^2\,,[/mm] bei mir in Zeilennotation, ist, deutlicher zu
> > erkennen ist.
> >
> > P.S. Für [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm] kannst Du es Dir oben
> > eventuell einfacher machen.
> > Schau' mal, ob Du Satz 20.1 anwenden darfst.
> Ich denke schon, dass ich den Satz anwenden darf, da M [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> und die Diffbarkeit in (0,0) habe ich im ersten Teil der
> Aufgabe gezeigt.
Es geht doch gerade darum, dass wir den Satz an Punkten [mm] $(x_0,y_0) \not=(0,0)$
[/mm]
anwenden wollen! Für [mm] $(x_0,y_0)=(0,0)$ [/mm] haben wir eine "Hand-zu-Fuß"
-Rechnung (arbeiten per Definitionem!) gemacht!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> > Soweit klar. Ich habe weiter gerechnet und komme auf
> > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}[/mm]
> > Dieser Grenzwert geht, je nachdem welches VZ [mm]r_{1}[/mm] hat,
> > gegen [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] Also er existiert nicht.
>
> 1. Eine schlechte Nachricht: Grenzwerte gehen nicht, sie
> sind.
>
> 2. Eine gute Nachricht: Deine Rechnung stimmt.
>
> 3. Eine schlechte Nachricht: Deine Behauptung stimmt
> nicht:
>
> Fall a): Für [mm]r_1=0[/mm] ist [mm]r_2 \not=0[/mm] (warum?) und dann ist
>
> [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}\bruch{0}{0+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}0=0\,.[/mm]
>
> Fall b): Sei [mm]r_1 \not=0\,,[/mm] dann
>
> [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+\lim\limits_{t \to 0}t^{2}*r_{2}^{4}}=...[/mm]?
Damit das vielleicht mal ganz klar wird: Fall a) behandelt
[mm] $(r_1,r_2)=(0,1)$ [/mm] oder [mm] $(r_1,r_2)=(0,\,-1)\,.$
[/mm]
Damit die Rechnung in Fall b) klarer wird:
Rechne mal konkret mit
[mm] $(r_1,r_2)=\frac{1}{\sqrt{5}}*(-1,2)=(\tfrac{-1}{\sqrt{5}},\,\tfrac{2}{\sqrt{5}})$
[/mm]
(insbesondere überzeuge Dich, dass [mm] ${r_1}^2+{r_2}^2=1$ [/mm] gilt).
Dieses Beispiel ist natürlich kein Beweis für die allgemeine Rechnung, aber
es zeigt dennoch allgemein, was da bei der Rechnung *passiert*.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
>
> > Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > > Untersuche f: [mm]\IR^{2} \to \IR;[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2} +y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \end{cases}[/mm]
> > > > auf totale Differenzierbarkeit und Existenz aller
> > > > Richtungsableitungen.
> > > > Hallo.
> > > > Beim ersten Teil, also totale Diffbarkeit komme
> ich
> > gut
> > > > klar. Aber bei der Existenz aller Richtungsableitungen hab
> > > > ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand einen Ansatz nennen
> > > > könnte.
> > >
> > > nimm' die Definition:
> > >
> > >
> >
> Definition 19.3
>
> >
> > >
> > > Eine Richtung [mm]r \in \IR^2[/mm] hat nach Definition 19.1 die
> > > [mm]\|r\|_2=1\,.[/mm] Also kannst
> > > Du
> > >
> > > [mm]r=(r_1,\,r_2)[/mm] mit [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm]
> > >
> > > schreiben - oder gar
> > >
> > >
> >
> [mm]r=\|r\|_2*(\cos(\phi),\;\sin(\phi))=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))[/mm]
> > > mit einem geeigneten [mm]0 \le \phi < 2\pi[/mm] fest.
> >
> > Ok, das habe ich verstanden.
> > >
> > > Du startest also mit (am Besten auch Fallunterscheidung:
> > > [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]):
> > > Sei
> > [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm]
> > > fest und [mm](r_1,r_2) \in \IR^2[/mm] eine Richtung, also es gelte
> > >
> > > [mm]{r_1}^2+{r_2}^2=1\,.[/mm]
> > >
> > > Dann ist im Falle [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm]x_0=y_0=0[/mm] die
> > > Existenz folgendes
> > > Grenzwertes zu untersuchen (bzw. im Falle der
> Existenz
> > > rechnen wir ihn
> > > auch aus):
> > >
> > > [mm]\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0,y_0)+t*(r_1,r_2)\red{)}-\overbrace{f\red{(}(x_0,y_0)\red{)}}^{=0}}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0+t*r_1,\;y_0+t*r_2)\red{)}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^{2}}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}}{t}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\;\stackrel{x_0=y_0=0}{=}\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(t*r_1)*(t*r_2)^{2}}{(t*r_1)^2+(t*r_2)^4}}{t}=...[/mm]
>
> >
> > Soweit klar. Ich habe weiter gerechnet und komme auf
> > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}[/mm]
> > Dieser Grenzwert geht, je nachdem welches VZ [mm]r_{1}[/mm] hat,
> > gegen [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] Also er existiert nicht.
>
> 1. Eine schlechte Nachricht: Grenzwerte gehen nicht, sie
> sind.
Ja, natürlich. Schlecht formuliert.
>
> 2. Eine gute Nachricht: Deine Rechnung stimmt.
Gut.
>
> 3. Eine schlechte Nachricht: Deine Behauptung stimmt
> nicht:
>
> Fall a): Für [mm]r_1=0[/mm] ist [mm]r_2 \not=0[/mm] (warum?)
weil sonst [mm] r_{1}^{2} [/mm] + [mm] r_{2}^{2} [/mm] =1 nicht erfüllt werden kann.
und dann ist
>
> [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}\bruch{0}{0+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}0=0\,.[/mm]
>
> Fall b): Sei [mm]r_1 \not=0\,,[/mm] dann
>
> [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+\lim\limits_{t \to 0}t^{2}*r_{2}^{4}}=...[/mm]?
>
> Wie Du oben auf [mm]+\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] kamst, weiß ich nicht.
Oh je, ich glaube ich sitze schon zu lange an den Aufgaben. Natürlich ist [mm] \lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}
[/mm]
Und somit existieren alle Richtungsableitungen in (0,0).
> Ich kann hier
> die Existenz aller Richtungsableitungen in [mm](0,0)\,[/mm]
> begründen (das beantwortet
> auch die Frage, was man nun daraus ableiten kann).
>
> > Was kann ich jetzt daraus ableiten?
> >
> > >
> > >
> > > Und ich habe die roten Klammern deswegen benutzt, damit Du
> > > siehst, dass
> > > zwischen ihnen das Argument der Funktion, welches
> hier
> > ja
> > > ein Element des
> > > [mm]\IR^2\,,[/mm] bei mir in Zeilennotation, ist, deutlicher
> zu
> > > erkennen ist.
> > >
> > > P.S. Für [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm] kannst Du es Dir oben
> > > eventuell einfacher machen.
> > > Schau' mal, ob Du Satz 20.1 anwenden darfst.
> > Ich denke schon, dass ich den Satz anwenden darf, da M
> [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> > und die Diffbarkeit in (0,0) habe ich im ersten Teil der
> > Aufgabe gezeigt.
>
> Es geht doch gerade darum, dass wir den Satz an Punkten
> [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]
> anwenden wollen! Für [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm]
> haben wir eine "Hand-zu-Fuß"
> -Rechnung (arbeiten per Definitionem!) gemacht!
hm, ok. Mich hat dieses [mm] x^{(0)} [/mm] verwirrt. Ich dachte das sei der Ursprung, also (0,0). Soll [mm] x^{(0)} [/mm] irgend ein fester Punkt [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] sein? Falls ja, dann soll ja in diesem Punkt f diffbar sein, was auch gilt, wie ich im ersten Teil gezeigt habe.
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Untersuche f: [mm]\IR^{2} \to \IR;[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2} +y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \end{cases}[/mm]
> > > > > auf totale Differenzierbarkeit und Existenz aller
> > > > > Richtungsableitungen.
> > > > > Hallo.
> > > > > Beim ersten Teil, also totale Diffbarkeit
> komme
> > ich
> > > gut
> > > > > klar. Aber bei der Existenz aller Richtungsableitungen hab
> > > > > ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand einen Ansatz nennen
> > > > > könnte.
> > > >
> > > > nimm' die Definition:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> Definition 19.3
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Eine Richtung [mm]r \in \IR^2[/mm] hat nach Definition 19.1 die
> > > > [mm]\|r\|_2=1\,.[/mm] Also kannst
> > > > Du
> > > >
> > > > [mm]r=(r_1,\,r_2)[/mm] mit [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm]
> > > >
> > > > schreiben - oder gar
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]r=\|r\|_2*(\cos(\phi),\;\sin(\phi))=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))[/mm]
> > > > mit einem geeigneten [mm]0 \le \phi < 2\pi[/mm] fest.
> > >
> > > Ok, das habe ich verstanden.
> > > >
> > > > Du startest also mit (am Besten auch Fallunterscheidung:
> > > > [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]):
> > > >
> Sei
> > > [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm]
> > > > fest und [mm](r_1,r_2) \in \IR^2[/mm] eine Richtung, also es gelte
> > > >
> > > > [mm]{r_1}^2+{r_2}^2=1\,.[/mm]
> > > >
> > > > Dann ist im Falle [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm]x_0=y_0=0[/mm] die
> > > > Existenz folgendes
> > > > Grenzwertes zu untersuchen (bzw. im Falle der
> > Existenz
> > > > rechnen wir ihn
> > > > auch aus):
> > > >
> > > > [mm]\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0,y_0)+t*(r_1,r_2)\red{)}-\overbrace{f\red{(}(x_0,y_0)\red{)}}^{=0}}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0+t*r_1,\;y_0+t*r_2)\red{)}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^{2}}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}}{t}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\;\stackrel{x_0=y_0=0}{=}\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(t*r_1)*(t*r_2)^{2}}{(t*r_1)^2+(t*r_2)^4}}{t}=...[/mm]
>
> >
> > >
> > > Soweit klar. Ich habe weiter gerechnet und komme auf
> > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}[/mm]
> > > Dieser Grenzwert geht, je nachdem welches VZ [mm]r_{1}[/mm] hat,
> > > gegen [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] Also er existiert nicht.
> >
> > 1. Eine schlechte Nachricht: Grenzwerte gehen nicht, sie
> > sind.
> Ja, natürlich. Schlecht formuliert.
>
> >
> > 2. Eine gute Nachricht: Deine Rechnung stimmt.
> Gut.
> >
> > 3. Eine schlechte Nachricht: Deine Behauptung stimmt
> > nicht:
> >
> > Fall a): Für [mm]r_1=0[/mm] ist [mm]r_2 \not=0[/mm] (warum?)
> weil sonst [mm]r_{1}^{2}[/mm] + [mm]r_{2}^{2}[/mm] =1 nicht erfüllt werden
> kann.
>
> und dann ist
> >
> > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}\bruch{0}{0+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}0=0\,.[/mm]
>
> >
> > Fall b): Sei [mm]r_1 \not=0\,,[/mm] dann
> >
> > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+\lim\limits_{t \to 0}t^{2}*r_{2}^{4}}=...[/mm]?
>
> >
> > Wie Du oben auf [mm]+\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] kamst, weiß ich nicht.
>
> Oh je, ich glaube ich sitze schon zu lange an den Aufgaben.
> Natürlich ist [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}[/mm]
Ja, Du darfst auch noch [mm] $r_1/r_1^2=1/r_1$ [/mm] benützen. Aber das ist nur
*Deko*.
> Und somit existieren alle Richtungsableitungen in (0,0).
>
> > Ich kann hier
> > die Existenz aller Richtungsableitungen in [mm](0,0)\,[/mm]
> > begründen (das beantwortet
> > auch die Frage, was man nun daraus ableiten kann).
> >
> > > Was kann ich jetzt daraus ableiten?
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Und ich habe die roten Klammern deswegen benutzt, damit Du
> > > > siehst, dass
> > > > zwischen ihnen das Argument der Funktion, welches
> > hier
> > > ja
> > > > ein Element des
> > > > [mm]\IR^2\,,[/mm] bei mir in Zeilennotation, ist,
> deutlicher
> > zu
> > > > erkennen ist.
> > > >
> > > > P.S. Für [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm] kannst Du es Dir oben
> > > > eventuell einfacher machen.
> > > > Schau' mal, ob Du Satz 20.1 anwenden darfst.
> > > Ich denke schon, dass ich den Satz anwenden darf, da
> M
> > [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> > > und die Diffbarkeit in (0,0) habe ich im ersten Teil der
> > > Aufgabe gezeigt.
> >
> > Es geht doch gerade darum, dass wir den Satz an Punkten
> > [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]
> > anwenden wollen! Für
> [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm]
> > haben wir eine "Hand-zu-Fuß"
> > -Rechnung (arbeiten per Definitionem!) gemacht!
>
> hm, ok. Mich hat dieses [mm]x^{(0)}[/mm] verwirrt. Ich dachte das
> sei der Ursprung, also (0,0).
Nein. Der Dozent würde dann doch einfach sowas wie [mm] $\textbf{0}$ [/mm] oder gar
nur einfach [mm] $0\,$ [/mm] schreiben, und dann vielleicht: "(die $0 [mm] \in \IR^d$ [/mm] ist gemeint)"
ergänzen. So, wie man bei reellen Zahlen, wenn man eine Zahl [mm] "$x\,$ [/mm]
festhält", halt gerne [mm] $x_0$ [/mm] schreibt, wird dort halt [mm] $x^{(0)}$ [/mm] für einen festen
Punkt des [mm] $\IR^d$ [/mm] geschrieben.
> Soll [mm]x^{(0)}[/mm] irgend ein
> fester Punkt [mm](x_{0},y_{0})[/mm] sein?
Genau. Dieses "hoch (0)" bedeutet *festhalten*. Er setzt es halt nicht als
unteren Index, weil man dort ja die Koordinaten schreiben könnte. Er
hätte also
[mm] $x^{(0)}=(x^{(0)}_1,\,x^{(0)}_2)$
[/mm]
anstatt
[mm] $(x_0,y_0)$
[/mm]
geschrieben.
> Falls ja, dann soll ja in diesem Punkt f diffbar sein, was auch gilt, wie ich
> im ersten Teil gezeigt habe.
Wenn das so ist, dann wende doch diesen Satz an. Natürlich kannst Du
auch rein per Definitionem vorgehen und schauen, wie es für [mm] $(x_0,y_0) \not=(0,0)$ [/mm]
und [mm] $(r_1,r_2) \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $r_1^2+r_2^2=1$ [/mm] dann mit der Existenz von
[mm] $\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^2}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}-\frac{x_0\,y_0^2}{x_0^2+y_0^4}}{t}$ [/mm] (der Ausdruck ist nun klar, oder?)
bestellt ist. Aber ich glaube, dass Du Dir das nicht antun willst.  (Wenn Du
Lust hast, kannst Du es ja dennoch mal tun und das Ergebnis mit dem
vergleichen, welches Du durch Anwendung von Satz 20.1 erhältst.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > Untersuche f: [mm]\IR^{2} \to \IR;[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2} +y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \end{cases}[/mm]
> > > > > > auf totale Differenzierbarkeit und Existenz aller
> > > > > > Richtungsableitungen.
> > > > > > Hallo.
> > > > > > Beim ersten Teil, also totale Diffbarkeit
> > komme
> > > ich
> > > > gut
> > > > > > klar. Aber bei der Existenz aller Richtungsableitungen hab
> > > > > > ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand einen Ansatz nennen
> > > > > > könnte.
> > > > >
> > > > > nimm' die Definition:
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> Definition 19.3
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Eine Richtung [mm]r \in \IR^2[/mm] hat nach Definition 19.1 die
> > > > > [mm]\|r\|_2=1\,.[/mm] Also kannst
> > > > > Du
> > > > >
> > > > > [mm]r=(r_1,\,r_2)[/mm] mit [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm]
> > > > >
> > > > > schreiben - oder gar
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]r=\|r\|_2*(\cos(\phi),\;\sin(\phi))=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))[/mm]
> > > > > mit einem geeigneten [mm]0 \le \phi < 2\pi[/mm] fest.
> > > >
> > > > Ok, das habe ich verstanden.
> > > > >
> > > > > Du startest also mit (am Besten auch Fallunterscheidung:
> > > > > [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]):
> > >
> > >
> > Sei
> > > > [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm]
> > > > > fest und [mm](r_1,r_2) \in \IR^2[/mm] eine Richtung, also es gelte
> > > > >
> > > > > [mm]{r_1}^2+{r_2}^2=1\,.[/mm]
> > > > >
> > > > > Dann ist im Falle [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm]x_0=y_0=0[/mm] die
> > > > > Existenz folgendes
> > > > > Grenzwertes zu untersuchen (bzw. im Falle der
> > > Existenz
> > > > > rechnen wir ihn
> > > > > auch aus):
> > > > >
> > > > > [mm]\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0,y_0)+t*(r_1,r_2)\red{)}-\overbrace{f\red{(}(x_0,y_0)\red{)}}^{=0}}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0+t*r_1,\;y_0+t*r_2)\red{)}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^{2}}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}}{t}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > [mm]\;\stackrel{x_0=y_0=0}{=}\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(t*r_1)*(t*r_2)^{2}}{(t*r_1)^2+(t*r_2)^4}}{t}=...[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Soweit klar. Ich habe weiter gerechnet und komme auf
> > > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}[/mm]
> > > > Dieser Grenzwert geht, je nachdem welches VZ [mm]r_{1}[/mm] hat,
> > > > gegen [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] Also er existiert nicht.
> > >
> > > 1. Eine schlechte Nachricht: Grenzwerte gehen nicht, sie
> > > sind.
> > Ja, natürlich. Schlecht formuliert.
> >
> > >
> > > 2. Eine gute Nachricht: Deine Rechnung stimmt.
> > Gut.
> > >
> > > 3. Eine schlechte Nachricht: Deine Behauptung stimmt
> > > nicht:
> > >
> > > Fall a): Für [mm]r_1=0[/mm] ist [mm]r_2 \not=0[/mm] (warum?)
> > weil sonst [mm]r_{1}^{2}[/mm] + [mm]r_{2}^{2}[/mm] =1 nicht erfüllt werden
> > kann.
> >
> > und dann ist
> > >
> > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}\bruch{0}{0+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}0=0\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Fall b): Sei [mm]r_1 \not=0\,,[/mm] dann
> > >
> > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+\lim\limits_{t \to 0}t^{2}*r_{2}^{4}}=...[/mm]?
>
> >
> > >
> > > Wie Du oben auf [mm]+\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] kamst, weiß ich nicht.
> >
> > Oh je, ich glaube ich sitze schon zu lange an den Aufgaben.
> > Natürlich ist [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}[/mm]
>
> Ja, Du darfst auch noch [mm]r_1/r_1^2=1/r_1[/mm] benützen. Aber das
> ist nur
> *Deko*.
>
> > Und somit existieren alle Richtungsableitungen in (0,0).
> >
> > > Ich kann hier
> > > die Existenz aller Richtungsableitungen in [mm](0,0)\,[/mm]
> > > begründen (das beantwortet
> > > auch die Frage, was man nun daraus ableiten kann).
> > >
> > > > Was kann ich jetzt daraus ableiten?
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Und ich habe die roten Klammern deswegen benutzt, damit Du
> > > > > siehst, dass
> > > > > zwischen ihnen das Argument der Funktion,
> welches
> > > hier
> > > > ja
> > > > > ein Element des
> > > > > [mm]\IR^2\,,[/mm] bei mir in Zeilennotation, ist,
> > deutlicher
> > > zu
> > > > > erkennen ist.
> > > > >
> > > > > P.S. Für [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm] kannst Du es Dir oben
> > > > > eventuell einfacher machen.
> > > > > Schau' mal, ob Du Satz 20.1 anwenden darfst.
> > > > Ich denke schon, dass ich den Satz anwenden darf,
> da
> > M
> > > [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> > > > und die Diffbarkeit in (0,0) habe ich im ersten Teil der
> > > > Aufgabe gezeigt.
> > >
> > > Es geht doch gerade darum, dass wir den Satz an Punkten
> > > [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]
> > > anwenden wollen! Für
> > [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm]
> > > haben wir eine "Hand-zu-Fuß"
> > > -Rechnung (arbeiten per Definitionem!) gemacht!
> >
> > hm, ok. Mich hat dieses [mm]x^{(0)}[/mm] verwirrt. Ich dachte das
> > sei der Ursprung, also (0,0).
>
> Nein. Der Dozent würde dann doch einfach sowas wie
> [mm]\textbf{0}[/mm] oder gar
> nur einfach [mm]0\,[/mm] schreiben, und dann vielleicht: "(die [mm]0 \in \IR^d[/mm]
> ist gemeint)"
> ergänzen. So, wie man bei reellen Zahlen, wenn man eine
> Zahl "[mm]x\,[/mm]
> festhält", halt gerne [mm]x_0[/mm] schreibt, wird dort halt [mm]x^{(0)}[/mm]
> für einen festen
> Punkt des [mm]\IR^d[/mm] geschrieben.
>
> > Soll [mm]x^{(0)}[/mm] irgend ein
> > fester Punkt [mm](x_{0},y_{0})[/mm] sein?
>
> Genau. Dieses "hoch (0)" bedeutet *festhalten*. Er setzt es
> halt nicht als
> unteren Index, weil man dort ja die Koordinaten schreiben
> könnte. Er
> hätte also
>
> [mm]x^{(0)}=(x^{(0)}_1,\,x^{(0)}_2)[/mm]
>
> anstatt
>
> [mm](x_0,y_0)[/mm]
>
> geschrieben.
>
> > Falls ja, dann soll ja in diesem Punkt f diffbar sein, was
> auch gilt, wie ich
> > im ersten Teil gezeigt habe.
>
> Wenn das so ist, dann wende doch diesen Satz an.
Ok, ich versuch es. Der Gradient lautet grad f(x,y)= [mm] (\bruch{y^{2}*(x^{2}+y^{4})-2*x^{2}*y^{2}}{(x^{2}+y^{4})^{2}}, \bruch{2xy*(x^{2}+y^{4})-4*x*y^{5}}{(x^{2}+y^{4})^{2}})
[/mm]
Wobei ich jetzt unsicher bezüglih des weitern Vorgehens bin. Muss ich nun alle x,y durch feste [mm] x_{0}, y_{0} [/mm] ersetzen und dann den Gradient mit meinem Vektor [mm] r_(r_{1}, r_{2}) [/mm] multiplizieren?
>Natürlich
> kannst Du
> auch rein per Definitionem vorgehen und schauen, wie es
> für [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]
> und [mm](r_1,r_2) \in \IR^2[/mm] mit [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm] dann mit der
> Existenz von
>
> [mm]\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^2}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}-\frac{x_0\,y_0^2}{x_0^2+y_0^4}}{t}[/mm]
> (der Ausdruck ist nun klar, oder?)
>
> bestellt ist. Aber ich glaube, dass Du Dir das nicht antun
> willst. (Wenn Du
> Lust hast, kannst Du es ja dennoch mal tun und das
> Ergebnis mit dem
> vergleichen, welches Du durch Anwendung von Satz 20.1
> erhältst.)
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> > > > >
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > > Untersuche f: [mm]\IR^{2} \to \IR;[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2} +y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \end{cases}[/mm]
> > > > > > > auf totale Differenzierbarkeit und Existenz aller
> > > > > > > Richtungsableitungen.
> > > > > > > Hallo.
> > > > > > > Beim ersten Teil, also totale
> Diffbarkeit
> > > komme
> > > > ich
> > > > > gut
> > > > > > > klar. Aber bei der Existenz aller Richtungsableitungen hab
> > > > > > > ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand einen Ansatz nennen
> > > > > > > könnte.
> > > > > >
> > > > > > nimm' die Definition:
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> Definition 19.3
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Eine Richtung [mm]r \in \IR^2[/mm] hat nach Definition 19.1 die
> > > > > > [mm]\|r\|_2=1\,.[/mm] Also kannst
> > > > > > Du
> > > > > >
> > > > > > [mm]r=(r_1,\,r_2)[/mm] mit [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm]
> > > > > >
> > > > > > schreiben - oder gar
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]r=\|r\|_2*(\cos(\phi),\;\sin(\phi))=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))[/mm]
> > > > > > mit einem geeigneten [mm]0 \le \phi < 2\pi[/mm] fest.
> > > > >
> > > > > Ok, das habe ich verstanden.
> > > > > >
> > > > > > Du startest also mit (am Besten auch Fallunterscheidung:
> > > > > > [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]):
> > >
> >
> > > >
> > > Sei
> > > > > [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm]
> > > > > > fest und [mm](r_1,r_2) \in \IR^2[/mm] eine Richtung, also es gelte
> > > > > >
> > > > > > [mm]{r_1}^2+{r_2}^2=1\,.[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Dann ist im Falle [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm]x_0=y_0=0[/mm] die
> > > > > > Existenz folgendes
> > > > > > Grenzwertes zu untersuchen (bzw. im Falle
> der
> > > > Existenz
> > > > > > rechnen wir ihn
> > > > > > auch aus):
> > > > > >
> > > > > > [mm]\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0,y_0)+t*(r_1,r_2)\red{)}-\overbrace{f\red{(}(x_0,y_0)\red{)}}^{=0}}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0+t*r_1,\;y_0+t*r_2)\red{)}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^{2}}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}}{t}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm]\;\stackrel{x_0=y_0=0}{=}\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(t*r_1)*(t*r_2)^{2}}{(t*r_1)^2+(t*r_2)^4}}{t}=...[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Soweit klar. Ich habe weiter gerechnet und komme auf
> > > > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}[/mm]
> > > > > Dieser Grenzwert geht, je nachdem welches VZ [mm]r_{1}[/mm] hat,
> > > > > gegen [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] Also er existiert nicht.
> > > >
> > > > 1. Eine schlechte Nachricht: Grenzwerte gehen nicht, sie
> > > > sind.
> > > Ja, natürlich. Schlecht formuliert.
> > >
> > > >
> > > > 2. Eine gute Nachricht: Deine Rechnung stimmt.
> > > Gut.
> > > >
> > > > 3. Eine schlechte Nachricht: Deine Behauptung stimmt
> > > > nicht:
> > > >
> > > > Fall a): Für [mm]r_1=0[/mm] ist [mm]r_2 \not=0[/mm] (warum?)
> > > weil sonst [mm]r_{1}^{2}[/mm] + [mm]r_{2}^{2}[/mm] =1 nicht erfüllt werden
> > > kann.
> > >
> > > und dann ist
> > > >
> > > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}\bruch{0}{0+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}0=0\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Fall b): Sei [mm]r_1 \not=0\,,[/mm] dann
> > > >
> > > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+\lim\limits_{t \to 0}t^{2}*r_{2}^{4}}=...[/mm]?
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Wie Du oben auf [mm]+\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] kamst, weiß ich nicht.
> > >
> > > Oh je, ich glaube ich sitze schon zu lange an den Aufgaben.
> > > Natürlich ist [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}[/mm]
>
> >
> > Ja, Du darfst auch noch [mm]r_1/r_1^2=1/r_1[/mm] benützen. Aber das
> > ist nur
> > *Deko*.
> >
> > > Und somit existieren alle Richtungsableitungen in (0,0).
> > >
> > > > Ich kann hier
> > > > die Existenz aller Richtungsableitungen in
> [mm](0,0)\,[/mm]
> > > > begründen (das beantwortet
> > > > auch die Frage, was man nun daraus ableiten
> kann).
> > > >
> > > > > Was kann ich jetzt daraus ableiten?
> > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Und ich habe die roten Klammern deswegen benutzt, damit Du
> > > > > > siehst, dass
> > > > > > zwischen ihnen das Argument der Funktion,
> > welches
> > > > hier
> > > > > ja
> > > > > > ein Element des
> > > > > > [mm]\IR^2\,,[/mm] bei mir in Zeilennotation, ist,
> > > deutlicher
> > > > zu
> > > > > > erkennen ist.
> > > > > >
> > > > > > P.S. Für [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm] kannst Du es Dir oben
> > > > > > eventuell einfacher machen.
> > > > > > Schau' mal, ob Du Satz 20.1 anwenden
> darfst.
> > > > > Ich denke schon, dass ich den Satz anwenden
> darf,
> > da
> > > M
> > > > [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> > > > > und die Diffbarkeit in (0,0) habe ich im ersten Teil der
> > > > > Aufgabe gezeigt.
> > > >
> > > > Es geht doch gerade darum, dass wir den Satz an Punkten
> > > > [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]
> > > > anwenden wollen! Für
> > > [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm]
> > > > haben wir eine "Hand-zu-Fuß"
> > > > -Rechnung (arbeiten per Definitionem!) gemacht!
> > >
> > > hm, ok. Mich hat dieses [mm]x^{(0)}[/mm] verwirrt. Ich dachte das
> > > sei der Ursprung, also (0,0).
> >
> > Nein. Der Dozent würde dann doch einfach sowas wie
> > [mm]\textbf{0}[/mm] oder gar
> > nur einfach [mm]0\,[/mm] schreiben, und dann vielleicht: "(die [mm]0 \in \IR^d[/mm]
> > ist gemeint)"
> > ergänzen. So, wie man bei reellen Zahlen, wenn man
> eine
> > Zahl "[mm]x\,[/mm]
> > festhält", halt gerne [mm]x_0[/mm] schreibt, wird dort halt [mm]x^{(0)}[/mm]
> > für einen festen
> > Punkt des [mm]\IR^d[/mm] geschrieben.
> >
> > > Soll [mm]x^{(0)}[/mm] irgend ein
> > > fester Punkt [mm](x_{0},y_{0})[/mm] sein?
> >
> > Genau. Dieses "hoch (0)" bedeutet *festhalten*. Er setzt es
> > halt nicht als
> > unteren Index, weil man dort ja die Koordinaten
> schreiben
> > könnte. Er
> > hätte also
> >
> > [mm]x^{(0)}=(x^{(0)}_1,\,x^{(0)}_2)[/mm]
> >
> > anstatt
> >
> > [mm](x_0,y_0)[/mm]
> >
> > geschrieben.
> >
> > > Falls ja, dann soll ja in diesem Punkt f diffbar sein, was
> > auch gilt, wie ich
> > > im ersten Teil gezeigt habe.
> >
> > Wenn das so ist, dann wende doch diesen Satz an.
> Ok, ich versuch es. Der Gradient lautet grad f(x,y)=
> [mm](\bruch{y^{2}*(x^{2}+y^{4})-2*x^{2}*y^{2}}{(x^{2}+y^{4})^{2}}, \bruch{2xy*(x^{2}+y^{4})-4*x*y^{5}}{(x^{2}+y^{4})^{2}})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (In dem Skript sind Gradienten übrigens tatsächlich als Zeilenvektoren
gemeint. Das ist nicht immer so, manche wollen diese Notation aus gewissen
Gründen auch nicht und bestehen darauf, dass das Spaltenvektoren sein
müssten. Aber die Formeln passen nun so zu dem, was im Skript steht...
von daher bleiben wir nun dabei!)
> Wobei ich jetzt unsicher bezüglih des weitern Vorgehens
> bin. Muss ich nun alle x,y durch feste [mm]x_{0}, y_{0}[/mm]
> ersetzen und dann den Gradient mit meinem Vektor [mm]r_(r_{1}, r_{2})[/mm]
> multiplizieren?
Genau. Wobei ich da auch nicht darauf geachtet habe, aber "eigentlich"
sollten in dem Skript die Vektoren des [mm] $\IR^d$ [/mm] als Spaltenvektoren notiert
werden. Mit anderen Worten:
[mm] $\left(\bruch{y_0^{2}*(x_0^{2}+y_0^{4})-2*x_0^{2}*y_0^{2}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}, \;\bruch{2x_0y_0*(x_0^{2}+y_0^{4})-4*x_0*y_0^{5}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}\right)*\vektor{r_1\\r_2}$
[/mm]
ist auszurechnen, also man führt eine Matrixmultiplikation durch zwischen
einer
$1 [mm] \times [/mm] 2$ und einer $2 [mm] \times [/mm] 1$
Matrix. Die entstehende Matrix aus [mm] $\IR^{1 \times 1}$ [/mm] identifiziert man dann
einfach mit ihrem Eintrag, also einer reellen Zahl. Und natürlich auch hier:
[mm] ${r_1}^2+{r_2}^2=1$ [/mm] gilt immer.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 29.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> > > > > >
> > > > > > > Hallo,
> > > > > > >
> > > > > > > > Untersuche f: [mm]\IR^{2} \to \IR;[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2} +y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \end{cases}[/mm]
> > > > > > > > auf totale Differenzierbarkeit und Existenz aller
> > > > > > > > Richtungsableitungen.
> > > > > > > > Hallo.
> > > > > > > > Beim ersten Teil, also totale
> > Diffbarkeit
> > > > komme
> > > > > ich
> > > > > > gut
> > > > > > > > klar. Aber bei der Existenz aller Richtungsableitungen hab
> > > > > > > > ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand einen Ansatz nennen
> > > > > > > > könnte.
> > > > > > >
> > > > > > > nimm' die Definition:
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> Definition 19.3
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Eine Richtung [mm]r \in \IR^2[/mm] hat nach Definition 19.1 die
> > > > > > > [mm]\|r\|_2=1\,.[/mm] Also kannst
> > > > > > > Du
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]r=(r_1,\,r_2)[/mm] mit [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > schreiben - oder gar
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]r=\|r\|_2*(\cos(\phi),\;\sin(\phi))=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))[/mm]
> > > > > > > mit einem geeigneten [mm]0 \le \phi < 2\pi[/mm] fest.
> > > > > >
> > > > > > Ok, das habe ich verstanden.
> > > > > > >
> > > > > > > Du startest also mit (am Besten auch Fallunterscheidung:
> > > > > > > [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]):
> >
> > >
> > >
> > > > >
> > > > Sei
> > > > > > [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm]
> > > > > > > fest und [mm](r_1,r_2) \in \IR^2[/mm] eine Richtung, also es gelte
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]{r_1}^2+{r_2}^2=1\,.[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Dann ist im Falle [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] bzw. [mm]x_0=y_0=0[/mm] die
> > > > > > > Existenz folgendes
> > > > > > > Grenzwertes zu untersuchen (bzw. im
> Falle
> > der
> > > > > Existenz
> > > > > > > rechnen wir ihn
> > > > > > > auch aus):
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0,y_0)+t*(r_1,r_2)\red{)}-\overbrace{f\red{(}(x_0,y_0)\red{)}}^{=0}}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f\red{(}(x_0+t*r_1,\;y_0+t*r_2)\red{)}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(x_0+t*r_1)*(y_0+t*r_2)^{2}}{(x_0+t*r_1)^2+(y_0+t*r_2)^4}}{t}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\;\stackrel{x_0=y_0=0}{=}\lim_{t \to 0}\frac{\frac{(t*r_1)*(t*r_2)^{2}}{(t*r_1)^2+(t*r_2)^4}}{t}=...[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Soweit klar. Ich habe weiter gerechnet und komme auf
> > > > > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}[/mm]
> > > > > > Dieser Grenzwert geht, je nachdem welches VZ [mm]r_{1}[/mm] hat,
> > > > > > gegen [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] Also er existiert nicht.
> > > > >
> > > > > 1. Eine schlechte Nachricht: Grenzwerte gehen nicht, sie
> > > > > sind.
> > > > Ja, natürlich. Schlecht formuliert.
> > > >
> > > > >
> > > > > 2. Eine gute Nachricht: Deine Rechnung stimmt.
> > > > Gut.
> > > > >
> > > > > 3. Eine schlechte Nachricht: Deine Behauptung stimmt
> > > > > nicht:
> > > > >
> > > > > Fall a): Für [mm]r_1=0[/mm] ist [mm]r_2 \not=0[/mm] (warum?)
> > > > weil sonst [mm]r_{1}^{2}[/mm] + [mm]r_{2}^{2}[/mm] =1 nicht erfüllt werden
> > > > kann.
> > > >
> > > > und dann ist
> > > > >
> > > > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}\bruch{0}{0+t^{2}*r_{2}^{4}}=\lim_{t \to 0}0=0\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Fall b): Sei [mm]r_1 \not=0\,,[/mm] dann
> > > > >
> > > > > [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+\lim\limits_{t \to 0}t^{2}*r_{2}^{4}}=...[/mm]?
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Wie Du oben auf [mm]+\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] kamst, weiß ich nicht.
> > > >
> > > > Oh je, ich glaube ich sitze schon zu lange an den Aufgaben.
> > > > Natürlich ist [mm]\lim_{t \to 0}\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+t^{2}*r_{2}^{4}}=\bruch{r_{1}*r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ja, Du darfst auch noch [mm]r_1/r_1^2=1/r_1[/mm] benützen. Aber das
> > > ist nur
> > > *Deko*.
> > >
> > > > Und somit existieren alle Richtungsableitungen in (0,0).
> > > >
> > > > > Ich kann hier
> > > > > die Existenz aller Richtungsableitungen in
> > [mm](0,0)\,[/mm]
> > > > > begründen (das beantwortet
> > > > > auch die Frage, was man nun daraus ableiten
> > kann).
> > > > >
> > > > > > Was kann ich jetzt daraus ableiten?
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Und ich habe die roten Klammern deswegen benutzt, damit Du
> > > > > > > siehst, dass
> > > > > > > zwischen ihnen das Argument der
> Funktion,
> > > welches
> > > > > hier
> > > > > > ja
> > > > > > > ein Element des
> > > > > > > [mm]\IR^2\,,[/mm] bei mir in Zeilennotation, ist,
> > > > deutlicher
> > > > > zu
> > > > > > > erkennen ist.
> > > > > > >
> > > > > > > P.S. Für [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm] kannst Du es Dir oben
> > > > > > > eventuell einfacher machen.
> > > > > > > Schau' mal, ob Du Satz 20.1 anwenden
> > darfst.
> > > > > > Ich denke schon, dass ich den Satz anwenden
> > darf,
> > > da
> > > > M
> > > > > [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> > > > > > und die Diffbarkeit in (0,0) habe ich im ersten Teil der
> > > > > > Aufgabe gezeigt.
> > > > >
> > > > > Es geht doch gerade darum, dass wir den Satz an Punkten
> > > > > [mm](x_0,y_0) \not=(0,0)[/mm]
> > > > > anwenden wollen!
> Für
> > > > [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm]
> > > > > haben wir eine "Hand-zu-Fuß"
> > > > > -Rechnung (arbeiten per Definitionem!)
> gemacht!
> > > >
> > > > hm, ok. Mich hat dieses [mm]x^{(0)}[/mm] verwirrt. Ich dachte das
> > > > sei der Ursprung, also (0,0).
> > >
> > > Nein. Der Dozent würde dann doch einfach sowas wie
> > > [mm]\textbf{0}[/mm] oder gar
> > > nur einfach [mm]0\,[/mm] schreiben, und dann vielleicht:
> "(die [mm]0 \in \IR^d[/mm]
> > > ist gemeint)"
> > > ergänzen. So, wie man bei reellen Zahlen, wenn man
> > eine
> > > Zahl "[mm]x\,[/mm]
> > > festhält", halt gerne [mm]x_0[/mm] schreibt, wird dort halt [mm]x^{(0)}[/mm]
> > > für einen festen
> > > Punkt des [mm]\IR^d[/mm] geschrieben.
> > >
> > > > Soll [mm]x^{(0)}[/mm] irgend ein
> > > > fester Punkt [mm](x_{0},y_{0})[/mm] sein?
> > >
> > > Genau. Dieses "hoch (0)" bedeutet *festhalten*. Er setzt es
> > > halt nicht als
> > > unteren Index, weil man dort ja die Koordinaten
> > schreiben
> > > könnte. Er
> > > hätte also
> > >
> > > [mm]x^{(0)}=(x^{(0)}_1,\,x^{(0)}_2)[/mm]
> > >
> > > anstatt
> > >
> > > [mm](x_0,y_0)[/mm]
> > >
> > > geschrieben.
> > >
> > > > Falls ja, dann soll ja in diesem Punkt f diffbar sein, was
> > > auch gilt, wie ich
> > > > im ersten Teil gezeigt habe.
> > >
> > > Wenn das so ist, dann wende doch diesen Satz an.
> > Ok, ich versuch es. Der Gradient lautet grad f(x,y)=
> >
> [mm](\bruch{y^{2}*(x^{2}+y^{4})-2*x^{2}*y^{2}}{(x^{2}+y^{4})^{2}}, \bruch{2xy*(x^{2}+y^{4})-4*x*y^{5}}{(x^{2}+y^{4})^{2}})[/mm]
>
> (In dem Skript sind Gradienten übrigens tatsächlich
> als Zeilenvektoren
> gemeint. Das ist nicht immer so, manche wollen diese
> Notation aus gewissen
> Gründen auch nicht und bestehen darauf, dass das
> Spaltenvektoren sein
> müssten. Aber die Formeln passen nun so zu dem, was im
> Skript steht...
> von daher bleiben wir nun dabei!)
>
> > Wobei ich jetzt unsicher bezüglih des weitern Vorgehens
> > bin. Muss ich nun alle x,y durch feste [mm]x_{0}, y_{0}[/mm]
> > ersetzen und dann den Gradient mit meinem Vektor [mm]r_(r_{1}, r_{2})[/mm]
> > multiplizieren?
>
> Genau. Wobei ich da auch nicht darauf geachtet habe, aber
> "eigentlich"
> sollten in dem Skript die Vektoren des [mm]\IR^d[/mm] als
> Spaltenvektoren notiert
> werden. Mit anderen Worten:
>
> [mm]\left(\bruch{y_0^{2}*(x_0^{2}+y_0^{4})-2*x_0^{2}*y_0^{2}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}, \;\bruch{2x_0y_0*(x_0^{2}+y_0^{4})-4*x_0*y_0^{5}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}\right)*\vektor{r_1\\r_2}[/mm]
>
> ist auszurechnen, also man führt eine Matrixmultiplikation
> durch zwischen
> einer
>
> [mm]1 \times 2[/mm] und einer [mm]2 \times 1[/mm]
>
> Matrix. Die entstehende Matrix aus [mm]\IR^{1 \times 1}[/mm]
> identifiziert man dann
> einfach mit ihrem Eintrag, also einer reellen Zahl. Und
Bis hierhin habe ich alles verstanden, allerdings bin ich beim Versuch den Bruch, den ich nach der Multiplikation erhalte, "schön" zu machen gescheitert. Deshalb meine Frage: Genügt es, das Produkt aus den beiden Matrizen hin zu schreiben, oder ist es wichtig dies noch auszurechnen. Muss ich noch irgendeine Bedingung prüfen?
> natürlich auch hier:
> [mm]{r_1}^2+{r_2}^2=1[/mm] gilt immer.
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Wobei ich jetzt unsicher bezüglih des weitern Vorgehens
> > > bin. Muss ich nun alle x,y durch feste [mm]x_{0}, y_{0}[/mm]
> > > ersetzen und dann den Gradient mit meinem Vektor [mm]r_(r_{1}, r_{2})[/mm]
> > > multiplizieren?
> >
> > Genau. Wobei ich da auch nicht darauf geachtet habe, aber
> > "eigentlich"
> > sollten in dem Skript die Vektoren des [mm]\IR^d[/mm] als
> > Spaltenvektoren notiert
> > werden. Mit anderen Worten:
> >
> >
> [mm]\left(\bruch{y_0^{2}*(x_0^{2}+y_0^{4})-2*x_0^{2}*y_0^{2}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}, \;\bruch{2x_0y_0*(x_0^{2}+y_0^{4})-4*x_0*y_0^{5}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}\right)*\vektor{r_1\\r_2}[/mm]
>
> >
> > ist auszurechnen, also man führt eine Matrixmultiplikation
> > durch zwischen
> > einer
> >
> > [mm]1 \times 2[/mm] und einer [mm]2 \times 1[/mm]
> >
> > Matrix. Die entstehende Matrix aus [mm]\IR^{1 \times 1}[/mm]
> > identifiziert man dann
> > einfach mit ihrem Eintrag, also einer reellen Zahl.
> Und
>
> Bis hierhin habe ich alles verstanden, allerdings bin ich
> beim Versuch den Bruch, den ich nach der Multiplikation
> erhalte, "schön" zu machen gescheitert. Deshalb meine
> Frage: Genügt es, das Produkt aus den beiden Matrizen hin
> zu schreiben, oder ist es wichtig dies noch auszurechnen.
> Muss ich noch irgendeine Bedingung prüfen?
mir persönlich würde die reelle Zahl, die man dann ablesen kann, reichen.
Vielleicht schreibt man noch
[mm] $r=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))^T\,,$
[/mm]
dann braucht man die Nebenbedingung [mm] $r_1^2+r_2^2=1$ [/mm] nicht mitschleppen.
Ansonsten: Was soll man noch prüfen? Du hast doch vorher geprüft, ob
der Satz anwendbar ist. Ob man nun
[mm] $(a,b)*\vektor{c\\d}=ac+bd$
[/mm]
einfach stehen läßt, oder ob man dann den Term rechterhand vereinfacht,
sofern es denn da etwas zu vereinfachen gibt, das ist nur Deko.
Nachgerechnet habe ich nun auch nichts.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
>
> > > > Wobei ich jetzt unsicher bezüglih des weitern Vorgehens
> > > > bin. Muss ich nun alle x,y durch feste [mm]x_{0}, y_{0}[/mm]
> > > > ersetzen und dann den Gradient mit meinem Vektor [mm]r_(r_{1}, r_{2})[/mm]
> > > > multiplizieren?
> > >
> > > Genau. Wobei ich da auch nicht darauf geachtet habe, aber
> > > "eigentlich"
> > > sollten in dem Skript die Vektoren des [mm]\IR^d[/mm] als
> > > Spaltenvektoren notiert
> > > werden. Mit anderen Worten:
> > >
> > >
> >
> [mm]\left(\bruch{y_0^{2}*(x_0^{2}+y_0^{4})-2*x_0^{2}*y_0^{2}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}, \;\bruch{2x_0y_0*(x_0^{2}+y_0^{4})-4*x_0*y_0^{5}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}\right)*\vektor{r_1\\r_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ist auszurechnen, also man führt eine Matrixmultiplikation
> > > durch zwischen
> > > einer
> > >
> > > [mm]1 \times 2[/mm] und einer [mm]2 \times 1[/mm]
> > >
> > > Matrix. Die entstehende Matrix aus [mm]\IR^{1 \times 1}[/mm]
> > > identifiziert man dann
> > > einfach mit ihrem Eintrag, also einer reellen Zahl.
> > Und
> >
> > Bis hierhin habe ich alles verstanden, allerdings bin ich
> > beim Versuch den Bruch, den ich nach der Multiplikation
> > erhalte, "schön" zu machen gescheitert. Deshalb meine
> > Frage: Genügt es, das Produkt aus den beiden Matrizen hin
> > zu schreiben, oder ist es wichtig dies noch auszurechnen.
> > Muss ich noch irgendeine Bedingung prüfen?
>
> mir persönlich würde die reelle Zahl, die man dann
> ablesen kann, reichen.
> Vielleicht schreibt man noch
>
> [mm]r=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))^T\,,[/mm]
>
> dann braucht man die Nebenbedingung [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm] nicht
> mitschleppen.
>
> Ansonsten: Was soll man noch prüfen? Du hast doch vorher
> geprüft, ob
> der Satz anwendbar ist. Ob man nun
>
> [mm](a,b)*\vektor{c\\d}=ac+bd[/mm]
>
> einfach stehen läßt, oder ob man dann den Term
> rechterhand vereinfacht,
> sofern es denn da etwas zu vereinfachen gibt, das ist nur
> Deko.
> Nachgerechnet habe ich nun auch nichts.
>
> Gruß,
> Marcel
Ok, dann hab ich es verstanden.
Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Hallo,
> >
> > > > > Wobei ich jetzt unsicher bezüglih des weitern Vorgehens
> > > > > bin. Muss ich nun alle x,y durch feste [mm]x_{0}, y_{0}[/mm]
> > > > > ersetzen und dann den Gradient mit meinem Vektor [mm]r_(r_{1}, r_{2})[/mm]
> > > > > multiplizieren?
> > > >
> > > > Genau. Wobei ich da auch nicht darauf geachtet habe, aber
> > > > "eigentlich"
> > > > sollten in dem Skript die Vektoren des [mm]\IR^d[/mm] als
> > > > Spaltenvektoren notiert
> > > > werden. Mit anderen Worten:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\left(\bruch{y_0^{2}*(x_0^{2}+y_0^{4})-2*x_0^{2}*y_0^{2}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}, \;\bruch{2x_0y_0*(x_0^{2}+y_0^{4})-4*x_0*y_0^{5}}{(x_0^{2}+y_0^{4})^{2}}\right)*\vektor{r_1\\r_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > ist auszurechnen, also man führt eine Matrixmultiplikation
> > > > durch zwischen
> > > > einer
> > > >
> > > > [mm]1 \times 2[/mm] und einer [mm]2 \times 1[/mm]
> > > >
> > > > Matrix. Die entstehende Matrix aus [mm]\IR^{1 \times 1}[/mm]
> > > > identifiziert man dann
> > > > einfach mit ihrem Eintrag, also einer reellen
> Zahl.
> > > Und
> > >
> > > Bis hierhin habe ich alles verstanden, allerdings bin ich
> > > beim Versuch den Bruch, den ich nach der Multiplikation
> > > erhalte, "schön" zu machen gescheitert. Deshalb meine
> > > Frage: Genügt es, das Produkt aus den beiden Matrizen hin
> > > zu schreiben, oder ist es wichtig dies noch auszurechnen.
> > > Muss ich noch irgendeine Bedingung prüfen?
> >
> > mir persönlich würde die reelle Zahl, die man dann
> > ablesen kann, reichen.
> > Vielleicht schreibt man noch
> >
> > [mm]r=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))^T\,,[/mm]
> >
> > dann braucht man die Nebenbedingung [mm]r_1^2+r_2^2=1[/mm] nicht
> > mitschleppen.
> >
> > Ansonsten: Was soll man noch prüfen? Du hast doch vorher
> > geprüft, ob
> > der Satz anwendbar ist. Ob man nun
> >
> > [mm](a,b)*\vektor{c\\d}=ac+bd[/mm]
> >
> > einfach stehen läßt, oder ob man dann den Term
> > rechterhand vereinfacht,
> > sofern es denn da etwas zu vereinfachen gibt, das ist
> nur
> > Deko.
> > Nachgerechnet habe ich nun auch nichts.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ok, dann hab ich es verstanden.
> Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
schön zu hören und gern geschehen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
