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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Exakte DGL mit int. Faktor
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Exakte DGL mit int. Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Mi 12.01.2011
Autor: Peon

Aufgabe
allg. Lsg der DGL:
[mm] (x^2-sin^2(y))dx+xsin(2y)dy=0 [/mm]

Hallo,

die Überpfrüfung der Exaktheit liefert:
[mm] g_y=-2sin(y)cos(y)\not=h_x=sin(2y) [/mm]


nun muss man einen integrierenden Faktor finden. Der Ansatz dazu lautet ja:
... [mm] µ_yg-µ_xh=µ(h_x-g_y) [/mm]  (1)
Nun kann man ja prüfen, ob µ von x oder y unabhängig ist. Korrespondierende dazu würde ja µ_x=0 bzw µ_y=0 sein. Danach muss man gucken, ob das Ergebnis eben nur von y bzw. x abhängt. Ich finde diesen Ansatz total schlecht, weil es nur so eine Raterei ist und man x,y,x+y,xy durchgehen muss bis man mal was gefunden hat...

Daher gibt es ja noch die Möglichkeit in die Formel (1) einfach die Sachen für g,h,... einzusetzen:
Das würde dann folgendes liefern:
[mm] µ_y(x^2-sin^2(y))-µ_xxsin(2y)=µsin(2y)+µ2cos(y)sin(y) [/mm]   (2)
Hier kann man dann ja so zusammenfassen und ausklammern, dass man die µ_y,µ_x mit µ vergleichten kann und damit weiterrechnen kann. Aber bei der Gleichung (2) sehe ich nicht wie ich weiter machen könnte. Meine Frage ist nun, gibt es eine systematische Methode, wie man µ berechnet, ohne womöglich alle Fälle durchzugehen (x,y,xy,x+y...).

DANKE

        
Bezug
Exakte DGL mit int. Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Mi 12.01.2011
Autor: fred97


[]Das hilft Dir vielleicht

FRED

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Exakte DGL mit int. Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mi 12.01.2011
Autor: Peon

Wofür steht das klein p(xy) bzw q(xy)?

Bezug
                        
Bezug
Exakte DGL mit int. Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Mi 12.01.2011
Autor: fred97

Die DGL lautet

       P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

In Aufgabe 7 ist davon die Rede, dass P die Form

             P(x,y)=yp(xy)  

hat.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Exakte DGL mit int. Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Mi 12.01.2011
Autor: Peon

Genau das meine ich ja auch :) Vielleicht habe ich meine Frage falsch gestellt, ich wollte wissen, was in dieser Gleichung das kleine p(xy) ist bzw yp(xy) ist?


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Bezug
Exakte DGL mit int. Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Mi 12.01.2011
Autor: fred97

Man könnte auch so sagen:

ist P von der Form

            P(x,y)=yp(xy)

mit einer gewissen Funktion p ...............


FRED

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