Eulersche Zahl (e-Zahl) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mi 30.05.2007 | | Autor: | splin |
Hallo,
wer kann mir verständlich diese Definitionen der e-Zahl erklären:
1. [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{e^h - 1}{h}=1
[/mm]
wenn h gegen 0 strebt dann habe ich im Zähler 0 und im Nenner auch 0, wie kommt denn dabei die 1 raus?
2. [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
MfG Splin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Mi 30.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Hast du bei der Limesbldung eines Bruches Terme á la
[mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty}, [/mm] brauchst du die ![[]](/images/popup.gif) Regeln von de l'Hospital.
Es gilt:
[mm] \limes\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes\bruch{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
Hier also:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{e^{h}-1}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{e^{h}}{1}=\bruch{1}{1}=1
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 30.05.2007 | | Autor: | splin |
Und mathematisher Hintergrund von h welcher die e-Zahl beschreibt. Wie kommt man auf diese Formel?
MfG Splin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Mi 30.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Siehe hier
Sorry, habe auf den falschen Artikel reagiert.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mi 30.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Schau dir mal meine erste Antwort an, und stelle konkrete Rückfragen.
Zu 2) Hier hilft das Pascalsche Dreieck oder auch die Binomialkoeffizienten, um [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] auszumultiplizieren.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 30.05.2007 | | Autor: | splin |
Ich meine wie kommt man auf diese beiden Formel mit
mathematischen Hintergrund ?
Was beschreiben die Buchstaben h bzw. n ?
MfG Splin
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi splin,
zur ersten kann ich vllt. etwas beisteuern.
Wenn du die Steigung einer Funktion an einer Stelle x_0 bestimmen sollst, bestimmst du doch im Normalfall den limes für x gegen x_0 des Differenzenquotienten
Du bestimmst also $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
Das ist doch gleichwertig zur "h-Methode"
$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
(setze dazu mal x=x_0+h)
Nun ist deine Funktion hier $f(x)=e^x=exp(x)$ und die Stelle $x_0=0$
Es ist also $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{e^x-e^0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$ bzw. mit der anderen Formel (oder mit h:=x)
$\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}$
So erklärt sich das h
bei der zweiten Frage versteh ich nicht ganz, was du meinst, das n ist doch nur das n in der Folge $(a_n)_{n\in\IN}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n_{n\in\IN}$ und die strebt halt für n\to\infty gegen e
Den Beweis dazu solltest du in jedem Ana I Buch oder Skript finden können.
LG
schachuzipus
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