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Eulersche Phi Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Do 24.05.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
Zeige für alle m, n [mm] \in \IN [/mm] und d = g g T( m,  n), dass
[mm] \phi( [/mm] m n ) = [mm] \phi(m)*\phi(n) \frac{d}{\phi(d)} [/mm]

Für d=1 [mm] \phi [/mm] (m n) = [mm] \phi(m)*\phi(n) [/mm]
In Vorlesung gezeigt!


d| m: [mm] \exists [/mm] a [mm] \in \IZ: [/mm] m = a * d
d| n: [mm] \exists [/mm] b [mm] \in \IZ: [/mm] n = b * d


aus Vorlesung: ggT( m/d ,n/ d) = 1
dh. [mm] \phi((m*n)/d^2) =\phi(m/d [/mm] * n/d)= [mm] \phi(m/d) [/mm] * [mm] \phi(n/d) [/mm]

Ist das ein brauchbarer Ansatz?
Wie machen ich werter?

        
Bezug
Eulersche Phi Funktion: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Do 24.05.2012
Autor: wieschoo

hi,

bekannt ist [mm]\varphi(n)=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)[/mm]

Naja analog ist [mm]\varphi(mn) = mn \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) = mn \frac{\prod_a \prod_b }{\prod_c}[/mm]

In [mm]\Pi_a[/mm] sammelst dudurchläuft der Index alle Teiler von m.
In [mm]\Pi_b[/mm] sammelst dudurchläuft der Index  alle Teiler von n.
In [mm]\Pi_c[/mm] dividierst du durch das, was du zu viel oben multipliziert hast.

Bezug
                
Bezug
Eulersche Phi Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Do 24.05.2012
Autor: quasimo

hallo

> $ [mm] \varphi(mn) [/mm] = mn [mm] \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) [/mm] = mn [mm] \frac{\prod_a \prod_b }{\prod_c} [/mm] $

der Hintere Teil ist mir etwas suspekt trotz erklärung ;)

p|mn d.h p teilt m oder n

[mm] \varphi(mn) [/mm] = mn [mm] \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) [/mm] =m [mm] \prod_{p \mid m} \left( 1 - \frac 1p \right) [/mm] * n [mm] \prod_{p \mid n} \left( 1 - \frac 1p \right) [/mm]
Was sollte ich hier "zuviel" haben??

Bezug
                        
Bezug
Eulersche Phi Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Do 24.05.2012
Autor: wieschoo


> hallo
>  
> > [mm]\varphi(mn) = mn \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) = mn \frac{\prod_a \prod_b }{\prod_c}[/mm]
>  
> der Hintere Teil ist mir etwas suspekt trotz erklärung ;)
>  
> p|mn d.h p teilt m oder n

Nein. Es kann p beide Zahlen teilen, da m und n nicht teilerfremd sind.

>  
> [mm]\varphi(mn)[/mm] = mn [mm]\prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right)[/mm]
> =m [mm]\prod_{p \mid m} \left( 1 - \frac 1p \right)[/mm] * n
> [mm]\prod_{p \mid n} \left( 1 - \frac 1p \right)[/mm]
>  Was sollte
> ich hier "zuviel" haben??

Die Teiler, die in beiden zahlen auftreten.
Mach dir klar, dass

                          [mm] \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) = \frac{\prod_{p \mid m} \left( 1 - \frac 1p \right) \prod_{p \mid n} \left( 1 - \frac 1p \right)}{\prod_{p \mid d} \left( 1 - \frac 1p \right)}[/mm]

gilt.


edit: hab meinen vorherigen Beitrag ein wenig präzisiert.

Bezug
                                
Bezug
Eulersche Phi Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:31 Fr 25.05.2012
Autor: quasimo

ah okay vielen dank.

lg

Bezug
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