Eulersche Funktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 29.05.2005 | | Autor: | NECO |
Halllo Liebe Leute, ich muss diese Aufgabe zeigen.
für [mm] a\in \IZ [/mm] zeige man: [mm] [a]_{n}\in \IZ_{n}^{ \* } \gdw [/mm] a und n sind Teilerfremd.
Ich sage dazu nur Klar. Weil [mm] \IZ_{n}^{ \* } [/mm] besteht ja nur aus zu n Teilerfremden zahlen. Aber das ist ja keine Beweis. Wie kann mann das zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 29.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
Mit [mm] $\IZ_n^{\*}$ [/mm] sind hier die Einheiten in [mm] $\IZ_n$ [/mm] gemeint, also die invertierbaren Elemente.
Sind $a$ und $n$ nicht teilerfremd, dann gibt es ein $b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
$a [mm] \cdot [/mm] b=n$.
Daraus folgt;
[mm] $[a]_n \cdot [b]_n=[n]_n=[0]_n$.
[/mm]
Hast du eine Idee, warum dann [mm] $[a]_n \in \IZ_n$ [/mm] keine Einheit sein kann.
Sind $a$ und $n$ teilerfremd, dass gibt es (erweiterter Euklidischer Algorithmus, auch Lemma von Bézout) $x,y [mm] \in \IZ$
[/mm]
mit
$a [mm] \cdot [/mm] x + n [mm] \cdot [/mm] y=1$.
Und jetzt gehe mal zu den Restklassen über...
Liebe Grüße
Stefan
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