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Hallo ihr lieben,
ich habe gerade im Buch einen Beweis gelesen, den ich nicht ganz verstehe.. es geht darum zu beweisen:
[mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
ich schreib die stelle mal kurz ab..
[mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n, [/mm] da log'(1)=1, folgt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n log(1+\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}n \bruch{(1+\bruch{1}{n})}{\bruch{1}{n}}. [/mm] Nun ist [mm] (1+\bruch{1}{n})^n=exp(n [/mm] log [mm] (1+\bruch{1}{n})), [/mm] also wegen der Stetigkeit von exp [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=exp(1)=e.
[/mm]
ich habe da immermal so stellenweise fragen:
1.) warum folgt aus log'(1)=1 dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n log(1+\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}n \bruch{(1+\bruch{1}{n})}{\bruch{1}{n}}... [/mm] und die gleichung an sich bekomme ich gerade auch nicht so wirklich umgeformt, dass es das gleiche ist) ???
2.) wieso kommt man von der stetigkeit von exp auf den schluss: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=exp(1)=e [/mm] ???
das ist mir leider nicht nicht klar...oder ich habe gerade extrem tomaten auf den augen...
Kann mir jemand helfen??
Liebe Grüße
pythagora
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> Hallo ihr lieben,
> ich habe gerade im Buch einen Beweis gelesen, den ich
> nicht ganz verstehe.. es geht darum zu beweisen:
> [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> ich schreib die stelle mal kurz ab..
> [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n,[/mm] da
> log'(1)=1, folgt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n log(1+\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}n \bruch{(1+\bruch{1}{n})}{\bruch{1}{n}}.[/mm]
Also die Zeile ist definitiv falsch. Denn auf der linken Seite der Grenzwert ist 1 (das will man ja auch haben), aber auf der rechten Seite der Grenzwert existiert nicht, d.h. dieser Term haut für große n ins Unendliche ab.
Vielleicht ist es also gut, dass du diese Zeile nicht aus der anderen Bedingung folgern kannst.
> Nun ist [mm](1+\bruch{1}{n})^n=exp(n[/mm] log [mm](1+\bruch{1}{n})),[/mm]
> also wegen der Stetigkeit von exp
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=exp(1)=e.[/mm]
>
> ich habe da immermal so stellenweise fragen:
> 1.) warum folgt aus log'(1)=1 dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n log(1+\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}n \bruch{(1+\bruch{1}{n})}{\bruch{1}{n}}...[/mm]
> und die gleichung an sich bekomme ich gerade auch nicht so
> wirklich umgeformt, dass es das gleiche ist) ???
s.o.
>
> 2.) wieso kommt man von der stetigkeit von exp auf den
> schluss:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=exp(1)=e[/mm]
> ???
>
Naja, wenn man den Weg so einschlägt, wäre es schöner, die Schritte in einer anderen Reihenfolge aufzuschreiben:
Gesucht: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n$
[/mm]
Das schreibt man um:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}e^{n*\ln{\left(1+\bruch{1}{n}\right)}}$
[/mm]
Weil die Exponentialfunktion stetig ist, darf man nun das "Funktionsbilden" und das "Grenzwert bilden" vertauschen. Oder anders gesagt, es spielt keine Rolle, ob du erst n in diese Funktion einsetzt und davon den Grenzwert ermittelst oder ob du erst den Grenwert des "n-Terms" berechnest und den dann in die e-Funktion einsetzt.
Also, nächster Schritt:
[mm] $=e^{\limes_{n\rightarrow\infty}n*\ln{\left(1+\bruch{1}{n}\right)}}$
[/mm]
Jetzt kann man die Untersuchung natürlich erstmal auf den Exponenten beschränken:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}n*\ln{\left(1+\bruch{1}{n}\right)}$
[/mm]
Jetzt fällt mir nur ein Weg ein: Statt des Grenzwerts n [mm] \to \infty [/mm] schreibe ich [mm] $k=\bruch{1}{n}$ [/mm] und betrachte k [mm] \to [/mm] 0.
Dann sieht das so aus:
[mm] $\limes_{k\rightarrow 0}\bruch{1}{k}*\ln{\left(1+k\right)} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow 0}\bruch{\ln{\left(1+k\right)}}{k}$
[/mm]
Vorteil: Sowohl Zähler als auch Nenner gehen jetzt gegen 0 und ich kann die Regel von L'Hospital anwenden, d.h. Zähler und Nenner getrennt ableiten und deren Quotienten betrachten, weil sich durch das Differenzieren der Grenzwert nicht ändert.
Ableitungen (nach k natürlich) liefern dann den Quotienten:
[mm] $\limes_{k\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{1+k} }{1} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow 0}\bruch{1}{1+k} [/mm] = 1$
Das wieder einsetzen liefert das gewünschte [mm] $e^{1}$.
[/mm]
Vielleicht steckt da auch irgendwo diese ln'(1) = 1 Bedingung drin, aber das ist zumindest für mich nicht offensichtlich.
> das ist mir leider nicht nicht klar...oder ich habe gerade
> extrem tomaten auf den augen...
>
> Kann mir jemand helfen??
>
> Liebe Grüße
> pythagora
Ich hoffe, ein bisschen mehr Klarheit hast du jetzt - und schau nochmal nach der Stelle, die falsch ist, ob du dich da vertippt hast oder das wirklich so falsch im Buch steht.
lg weightgainer
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Huhu,
da ihr l'Hospital noch nicht hattet, hier ein weg über den Differenzenquotienten, den ihr voraussetzen könnt:
Also es gilt ja:
$ f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\bruch{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $
bzw. da wir $ h\to 0 $ schicken können wir stattdessen ja auch $ \bruch{1}{n} $ schreiben mit $ n\to\infty $ (da $ \bruch{1}{n} \to $ 0 für $ n\to\infty) $
Also würde da stehen:
$ f'(x_0) = \lim_{n\to 0}\bruch{f(x_0+\bruch{1}{n}) - f(x_0)}{\bruch{1}{n}} $
Setze nun $ x_0 = 1 $ und $ f(x) = \log(x) $ dann steht da:
$ \log'(1) = \lim_{n\to\infty}\bruch{\log(1+\bruch{1}{n}) - \log(1)}{\bruch{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\bruch{\log(1+\bruch{1}{n}) }{\bruch{1}{n}} $ da $ \log(1) = 0 $.
Und es war ja gegeben, dass $ \log'(1) = 1 $ also steht da:
$ 1 = \lim_{n\to\infty}\bruch{\log(1+\bruch{1}{n}) }{\bruch{1}{n} $
Und das alles ganz ohne l'Hospital ^^
Nun zu deinem späteren Problem in der Aufgabe:
$ \lim_{n\to\infty}\bruch{\log(1 + \bruch{x}{n})}{\bruch{1}{n}} $
Wir erweitern nun geschickt im Nenner:
$ \lim_{n\to\infty}\bruch{\log(1 + \bruch{x}{n})}{\bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{x}{x}} = x\cdot{}\lim_{n\to\infty}\bruch{\log(1 + \bruch{x}{n})}{\bruch{x}{n}} $
Nun gilt wieder $ \bruch{x}{n} \to 0 $ für $ x\not= 0 $
d.h. dort steht wieder:
$ = x\cdot{}\log'(1) $
Weiter kommst du bestimmt allein 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Fr 14.01.2011 | | Autor: | pythagora |
Hallo ihr zwei!!
Danke, ich glaube ich dhabe das im buch jetzt verstanden
(@weightgainer: cool geschrieben^^, l'hospital ist aber auch kein problem ;), also alles gut^^)
@gono: du scheinst ja meine aufgabe zu kennen!? ich hoffe das wurde nicht schonmal gefragt... ist ja immer blöd, wenn hier so viel doppelt ist, hab aber nichts gefunden... ich hab das ein wenig anders am ende, aber is auch wurscht...
Ich wünsche euch noch einen schönen abend.
LG
pythagora
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> Danke, ich glaube ich dhabe das im buch jetzt verstanden
ja, das ist da wirklich ein wenig (zu!) kurz erklärt.
> (@weightgainer: cool geschrieben^^, l'hospital ist aber
> auch kein problem ;), also alles gut^^)
l'hospital ist insofern nen Problem, dass ihr es (dummerweise) noch nicht verwenden dürft, soweit ich weiß.
Da schimpft der Korrektor
> @gono: du scheinst ja meine aufgabe zu kennen!? ich hoffe
> das wurde nicht schonmal gefragt... ist ja immer blöd,
> wenn hier so viel doppelt ist, hab aber nichts gefunden...
> ich hab das ein wenig anders am ende, aber is auch
> wurscht...
Nein, sie wurde nicht hier im Forum gestellt, aber ich scheinen jemanden zu betreuen, der in deiner VL sitzt 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Fr 14.01.2011 | | Autor: | pythagora |
> l'hospital ist insofern nen Problem, dass ihr es
> (dummerweise) noch nicht verwenden dürft, soweit ich
> weiß.
> Da schimpft der Korrektor
jap, aber mein wissen muss ich ja nicht durch andere einschränken lassen!!^^
LG
pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
dein "Wissen" ist dann aber eingeschränkt, weil du den Satz von l'Hospital dann später. indirekt mit dem Satz von l'Hospital beweist.... merkst du den Zirkelschluß selbst?
MFG,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Fr 14.01.2011 | | Autor: | pythagora |
> dein "Wissen" ist dann aber eingeschränkt, weil du den
> Satz von l'Hospital dann später. indirekt mit dem Satz von
> l'Hospital beweist.... merkst du den Zirkelschluß selbst?
>
ich hab ja nicht gesagt, dass ich nicht auch andere wege kenne, aber alles was ich lernen kann, nehme ich mit... wir beweisen das irgendwann schon noch mal, und wenn nicht, dann hab ich's halt trotzdem verstanden...^^
LG
pythagora
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