Euler-Verfahren DGL n-ter Ord. < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | y''+ 16y' +100y = 0
y(0) = 2, y'(0)=8 |
Hallo,
mit geht es um die Lösung von DGLs n-ter Ordnung und deren Lösung mit dem Euler-Verfahren.
Als Beispiel habe ich eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung gewählt. Ich weiß, dass ich die DGL in ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln muss.
Mein Ansatz ist:
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] y_{2}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] -16y_{2} [/mm] -100y
Ich weiß nicht, ob mein Ansatz richtig ist und wie ich nun z.B. die ersten beiden Euler-Schritte mit h= 0.5 durchführe.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Felix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Fr 23.01.2015 | | Autor: | hippias |
Nein, in Deinem Ansatz ist einiges durcheinander geraten. Versuche es besser. Dann koennen wir uns an die Berechnung der Euler-Schritte machen.
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Vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe meinen Ansatz nochmal überdacht und komme auf folgendes Ergebnis:
1. Nach [mm] y''[/mm] auflösen
[mm]y'' = -16y'-100y[/mm]
2. System überführen:
[mm]
\begin{pmatrix}
y \\
y'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_{0} \\
y_{1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
-16y_{1}-100y_{0}
\end{pmatrix}
[/mm]
Ist das so i.O.? Kannst Du mir zeigen, wie ich jetzt den Euler-Schritt mache?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Sa 24.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo!
> Vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe meinen Ansatz
> nochmal überdacht und komme auf folgendes Ergebnis:
>
> 1. Nach [mm]y''[/mm] auflösen
> [mm]y'' = -16y'-100y[/mm]
>
> 2. System überführen:
> [mm]
\begin{pmatrix}
y \\
y'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_{0} \\
y_{1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
-16y_{1}-100y_{0}
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Ist das so i.O.?
Ja.
> Kannst Du mir zeigen, wie ich jetzt den Euler-Schritt mache?
Explizit oder implizit? Im Grunde ist es nur einsetzen.
Schreibe das Verfahren auf und setze $h=0.5>0$ ein.
Gruß
DieAcht
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Sehr gut, ich habe jetzt verstanden wie ich die DGL in das System überführe.
Es geht primär um das explizite Euler-Verfahren. Sekundär will ich verstehen wie ich eine DGL höheren Grades mit anderen numerischen Verfahren auf diese Weise lösen kann.
Das explizites Euler-Verfahren ist wie folgt definiert:
[mm]
y_{n+1}=y_{n}+h*f(y,x)
[/mm]
Die Randbedingungen sind:
[mm]
y_{0}(0) = 2, y_{1}(0)=8
[/mm]
Das System ist:
[mm]
\begin{pmatrix}
y \\
y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
y_{0} \\
y_{1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
-16y_{1}-100y_{0}
\end{pmatrix}
[/mm]
Der erste Euler-Schritt lautet:
[mm]
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
8 \\
2+0,5*(-16*8-100*2)
\end{pmatrix}
[/mm]
Ist das korrekt?
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Hallo felix.einszwei,
> Sehr gut, ich habe jetzt verstanden wie ich die DGL in das
> System überführe.
>
> Es geht primär um das explizite Euler-Verfahren. Sekundär
> will ich verstehen wie ich eine DGL höheren Grades mit
> anderen numerischen Verfahren auf diese Weise lösen kann.
>
> Das explizites Euler-Verfahren ist wie folgt definiert:
> [mm]
y_{n+1}=y_{n}+h*f(y,x)
[/mm]
>
> Die Randbedingungen sind:
> [mm]
y_{0}(0) = 2, y_{1}(0)=8
[/mm]
>
> Das System ist:
> [mm]
\begin{pmatrix}
y \\
y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
y_{0} \\
y_{1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
-16y_{1}-100y_{0}
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Der erste Euler-Schritt lautet:
> [mm]
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
8 \\
2+0,5*(-16*8-100*2)
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Auch wenn der erste Schritt korrekt war, habe ich es noch nicht vollständig verstanden.
Für den ersten Schritt hatten wir:
[mm]
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
8 \\
2+0,5*(-16*8-100*2)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
8 \\
-162
\end{pmatrix}
[/mm]
Lautet der zweite Iterationsschritt nun:
[mm]
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
8 \\
-162+0,5*(-16*8+162*100)
\end{pmatrix}
[/mm] ?
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Hallo felix.einszwei,
> Auch wenn der erste Schritt korrekt war, habe ich es noch
> nicht vollständig verstanden.
>
> Für den ersten Schritt hatten wir:
> [mm]
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
8 \\
2+0,5*(-16*8-100*2)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
8 \\
-162
\end{pmatrix}
[/mm]
>
Hier steht doch:
[mm]
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
8 \\
2+0,5*(-16*8-100*2)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
8 \\
-162
\end{pmatrix}=\pmat{y_{1} \\ y_{2}}
[/mm]
> Lautet der zweite Iterationsschritt nun:
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
8 \\
-162+0,5*(-16*8+162*100)
\end{pmatrix}
[/mm]
> ?
Demnach muss hier stehen:
[mm]
\begin{pmatrix}
y_{0}' \\
y_{1}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\blue{-162} \\
-162+0,5*(-16*8-162*100)
\end{pmatrix}=\pmat{y_{2} \\ y_{3}}
[/mm]
Gruss
MathePower
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