Euklid^k = City-Block < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei 1 [mm] \le [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm]
(a) Bestimmen Sie alle Vektoren x = [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in \IR^n, [/mm] die für alle natürlichen Zahlen k [mm] \ge [/mm] 1 der Gleichung [mm] ||x||^k [/mm] = [mm] ||x||_{c} [/mm] genügen. Beweisen Sie Ihre Antwort.
(b) Bestimmen Sie alle Vektoren x = [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in \IR^n, [/mm] die für alle natürlichen Zahlen k [mm] \ge [/mm] 1 der Gleichung ||x|| = [mm] ||x||_{c}^k [/mm] genügen. Beweisen Sie Ihre Antwort. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich sitze jetzt schon eine Weile an der genannten Aufgabe (a) und finde keinen wirklichen Ansatz. Ich denke ich brauche für diese Aufgabe erst mal eine Vermutung und kann nicht einfach drauf losrechnen. Zwar scheint mir die Vermutung, dass alle [mm] x_{k} \in \{-1,0,1\} [/mm] sinnvoll, aber auch zu trivial. Zudem sind ja auch ausgleichende Varianten, wie z.B.: k=2, n=9: 8*(0,5)²+2² = 8*|0,5|+|2| möglich. Jetzt fällt mir beim Tippen noch auf, dass k ja auch 1 sein kann und somit nur noch [mm] x_{k} \in \{0\} [/mm] trivial übrig bleibt, da ja [mm] \wurzel{1+1} \not= [/mm] |1|+|1| ist. Ich wäre für einen sinnvollen Ansatz echt dankbar.
Auf jeden Fall schon mal vielen Dank für die Zeit und Mühen im voraus!
PS: Ich hoffe das ist von der Form, Einordnung etc. okay, bin neu in diesem Forum, also Verzeihung, falls da irgendwas nicht stimmt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:45 Mi 07.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu a). Sei x so, dass
(*) $ [mm] ||x||^k [/mm] $ = $ [mm] ||x||_{c} [/mm] $ für alle k [mm] \ge [/mm] 1.
Fall 1: $ ||x||<1 $. Aus (*) folgt mit k [mm] \to \infty: [/mm] $ [mm] ||x||_{c}=0 [/mm] $ , also x=0.
Fall 2: $ ||x||>1 $. Aus (*) folgt mit k [mm] \to \infty: [/mm] $ [mm] ||x||_{c}= \infty [/mm] $, Das ist Quark !
Bleibt also nur noch Fall 3: $ ||x||=1 $
Aus (*) bekommen wir: $ ||x||=1 [mm] =||x||_c$
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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Erst mal danke für die Antwort. Ich hatte mir auch noch mal Gedanken zu der Aufgabe gemacht und bin zu dem Schluss gekommen, das alle [mm] x_{i}=0 [/mm] sein müssen, außer einem [mm] x_{s} [/mm] welches auch 1 oder -1 sein kann. Wenn ich das jetzt mit deiner Antwort vergleiche scheint das ja nicht so falsch zu sein, da dann ebenfalls gilt x=0 oder [mm] $||x||=1=||x||_{c}$ [/mm] gilt. Jetzt ist nur noch die Frage des Beweises. Da ich bei dieser Art Aufgaben generell Probleme habe, frage ich lieber noch mal nach. Hier muss man doch in beide Richtungen beweisen, also einmal von [mm] ||x||^k=||x||_{c} [/mm] zu alle [mm] x_{i}=0, [/mm] ein [mm] x_{s} [/mm] kann auch 1 oder -1 sein (sicherlich formal nicht perfekt) und einmal umgekehrt. Wenn ich jetzt die Voraussetzung habe, dass alle [mm] x_{i}=0 [/mm] und ein [mm] x_{s} [/mm] auch 1 oder -1 sein kann und [mm] ||x||^k=||x||_{c} [/mm] zeigen wil, scheint mir das durch simples einsetzen bewiesen. Aber wie funktioniert die Gegenrichtung? Nehme ich einfach ein Vektor x=(0,0,...,1,...,0) und mache daraus [mm] ||x||^k [/mm] und [mm] ||x||_{c}, [/mm] die dann beide =1 (bzw. =0) sind? Zudem stellt sich mir immer noch die Frage was mit Vektoren wie z.B.: k=2, n=9: 8*(0,5)²+2² = 8*|0,5|+|2| ist, dass ginge ja auch auf, hätte ich aber so nocht nicht im Beweis.
Irgendwie komm ich mit diesem Typ Aufgabe nicht klar, man muss durch die Vermutung eigentlich schon die Lösung kennen, bevor man anfängt und bei dem Umwandeln in beide Richtungen erkenne ich irgendwie auch keine Leitlinie, also Verzeihung, falls das jetzt dumme Ansätze/Fragen sind.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:55 Mi 07.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
|x|=1 kann man doch auch erreichen, wenn die [mm] x_i [/mm] nicht alle 0 und eines 1 ist.
es sind genau die Punkte, die auf der (n dimensionalen Sphäre liegen;
all von die erwähnten Punkte liegen darauf, zusätzllich der 0 Punkt.
sorry ich habe zu ungenau gelesen, und die Falsche Norm verwendet, vergiss den post bitte.
Gruss leduart
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Für [mm]x = \left( x_1,x_2,\ldots,x_n \right)[/mm] soll also gelten:
[mm]\sum {x_i}^2 = 1 \ \ \text{und} \ \ \sum \left| x_i \right| = 1[/mm]
Es wird hier und im Folgenden über alle vorkommenden Indizes von [mm]1[/mm] bis [mm]n[/mm] unter den jeweils angegebenen Bedingungen summiert.
Wenn man die zweite Bedingung quadriert:
[mm]\sum {x_i}^2 + \sum_{i \neq j} \left| x_i \right| \cdot \left| x_j \right| = 1[/mm]
und die erste einsetzt, folgt:
[mm]\sum_{i \neq j} \left| x_i \right| \cdot \left| x_j \right| = 0[/mm]
Eine Summe nichtnegativer reeller Zahlen kann aber nur 0 sein, wenn jeder Summand 0 ist.
Wie geht's nun weiter?
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Zuerst vielen Dank für die Antwort.
Ich denke aus $ [mm] \sum_{i \neq j} \left| x_i \right| \cdot \left| x_j \right| [/mm] = 0 $ folgt nun, dass k-1 der k [mm] x_{i}=0 [/mm] sind und maximal ein [mm] x_{s} \not= [/mm] 0 ist, damit alle Summanden = 0 sind.
Nach den Grundbedingung $ [mm] \sum {x_i}^2 [/mm] = 1 \ \ [mm] \text{und} [/mm] \ \ [mm] \sum \left| x_i \right| [/mm] = 1 $ kann dieses nur [mm] x_{s}=-1 \vee x_{s}=1 [/mm] sein. Damit wäre dann auch die Rückrichtung bewiesen oder? Ich glaube ich hab jetzt auch verstanden, warum Beispiele wie: "k=2, n=9: 8*(0,5)²+2² = 8*|0,5|+|2|" rausfallen. Es sollen ja Vektoren sein die für alle k gelten...wer lesen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Do 08.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zuerst vielen Dank für die Antwort.
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> Ich denke aus [mm]\sum_{i \neq j} \left| x_i \right| \cdot \left| x_j \right| = 0[/mm]
> folgt nun, dass k-1 der k [mm]x_{i}=0[/mm] sind und maximal ein
> [mm]x_{s} \not=[/mm] 0 ist, damit alle Summanden = 0 sind.
> Nach den Grundbedingung [mm]\sum {x_i}^2 = 1 \ \ \text{und} \ \ \sum \left| x_i \right| = 1[/mm]
> kann dieses nur [mm]x_{s}=-1 \vee x_{s}=1[/mm] sein. Damit wäre
> dann auch die Rückrichtung bewiesen oder? Ich glaube ich
> hab jetzt auch verstanden, warum Beispiele wie: "k=2, n=9:
> 8*(0,5)²+2² = 8*|0,5|+|2|" rausfallen. Es sollen ja
> Vektoren sein die für alle k gelten...wer lesen kann...
ich glaube, Du bist auf dem richtigen Weg.....
Gehen wir die Sache mal systematisch an:
1. Zu bestimmen sind also alle [mm] x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n [/mm] mit:
[mm] \summe_{i=1}^{n}x_i^2=1=\summe_{i=1}^{n}|x_i|.
[/mm]
Dazu sei [mm] z_i:=|x_i| [/mm] ($i=1,...,n)$ und [mm] z:=(z_1,...,z_n). [/mm] Dann haben wir:
(1) [mm] \summe_{i=1}^{n}z_i^2=\summe_{i=1}^{n}z_i
[/mm]
und
(2) [mm] \summe_{i=1}^{n}z_i=1.
[/mm]
Wegen [mm] z_i \ge [/mm] 0 und (2) ist 0 [mm] \le z_i \le [/mm] 1 ($i=1,...,n)$.
Aus (1) folgt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}z_i(1-z_i)=0.
[/mm]
Da alle [mm] z_i(1-z_i) \ge [/mm] 0 sind, folgt:
[mm] z_i(1-z_i)=0 [/mm] ($i=1,...,n)$.
Es ist also [mm] z_i=0 [/mm] oder [mm] z_i=1. [/mm] Dass alle [mm] z_i=0 [/mm] sind, ist wegen (2) nicht möglich. Also ex. ein $k [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] mit [mm] z_k=1.
[/mm]
Wegen (2) gilt dann: [mm] z_i=0 [/mm] für i [mm] \ne [/mm] k.
Damit haben wir: [mm] $z=e^{(k)}$, [/mm] wobei ich mit [mm] e^{(k)} [/mm] den k-ten Einheitsvektor im [mm] \IR^n [/mm] bezeichne.
Somit erhalten wir: [mm] $x=\pm e^{(k)}$.
[/mm]
2. Ist umgekehrt [mm] $x=\pm e^{(k)}$, [/mm] so sieht man sofoert, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n}x_i^2=1=\summe_{i=1}^{n}|x_i|
[/mm]
gilt.
FAZIT: für $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt:
[mm] ||x||^k=||x||_c [/mm] für alle k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$x [mm] \in \{0, e^{(1)},..., e^{(n)}, - e^{(1)},...,- e^{(n)}\}$
[/mm]
FRED
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Irgendwie bist du da mit [mm]n[/mm] und [mm]k[/mm] durcheinandergekommen.
Ich hätte es so zu Ende gebracht:
[mm]\sum_{i \neq j} \left| x_i x_j \right| = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x_i x_j = 0 \ \ \mbox{für alle} \ \ i \neq j[/mm]
Wären mehr als eines der [mm]x_i[/mm] ungleich [mm]0[/mm], würde das der letzten Aussage widersprechen, denn es gäbe dann ein Paar [mm]i,j[/mm] mit [mm]x_i x_j \neq 0[/mm]. Es können aber auch nicht alle [mm]x_i = 0[/mm] sein, denn dann wären die Normen [mm]0[/mm].
Es gibt damit genau ein [mm]i_0[/mm] mit [mm]x_{i_0} \neq 0[/mm]. Und aus [mm]\sum {x_i}^2 = {x_{i_0}}^2 = 1[/mm] folgt [mm]x_{i_0} = \pm 1[/mm] .
(Das sollte eigentlich keine Mitteilung, sondern eine Antwort sein. Leider bin ich vom System zweimal herausgeschmissen worden. Wenn man sich dann wieder anmeldet, wird man behandelt, als würde man an der Antwort noch arbeiten, kommt aber nicht mehr in den Antwortmodus zurück, um die Antwort abzuschließen. Irgendwie ärgerlich.)
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Also wenn ich das richtig nachvollziehe, war meine Lösung prinzipiell richtig, aber formal nicht gut bzw. falsch (@Leopold_Gast: Du hast natürlich völlig Recht, dass ich bei "[...]k-1 der k $ [mm] x_{i}=0 [/mm] $ sind[...]" fälschlicherweise k statt n geschrieben habe). Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Gibt es denn für diesen Aufgabentypus irgendwelche Leitpunkte an denen man sich orientieren kann? Finde die Vermutung oft schwierig und auch die Art des Beweises ist ja recht offen...
Ich bedanke mich auf jeden Fall bei euch beiden für die schnelle und kompetente Hilfe! Werde mich morgen mal an der b) versuchen und mich ggf. noch mal melden ;)
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