Euklidischer Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 So 03.05.2009 | | Autor: | Esra |
| Aufgabe | Sei V ein unendlich-dimensionaler Vektorraum mit innerem Produkt und Norm [mm] \parallelv\parallel=\wurzel{}. [/mm]
Zeigen sie, dass der Satz von Bolzano- Weierstraß in V nicht gilt, d.h. dass es beschränkte Folgen in V gibt, so dass keine Teilfolge konvergent ist.
Betrachte dazu eine Folge linear unabhängiger Vektoren und konstruiere eine beschränkte Folge [mm] v_{n} [/mm] , n [mm] \in\IN, [/mm] so dass für [mm] k\not=n [/mm] gilt: [mm] \parallel v_{n}-v_{k}\parallel\ge1 [/mm] ist. |
hallo zusammen,
ich kann diese aufgabe irgentwie nicht lösen klingt wie analysis ist aber lineare algebra ..
kann mir da jemand bitte helfen..
also folgendes habe ich zur Gebrauch vorgelegt :
Eine Folge [mm] (v_{n}) n\in\IN [/mm] heißt konvergent gegen [mm] v\inV, [/mm] falls es für alle E>0 ein [mm] n_{o} \in\IN [/mm] gibt, so dass für alle [mm] n\ge_{0} [/mm] gilt, dass [mm] \parallelv_{n}-v\parallel
Eine Folge von Vektoren [mm] v_{n} n\in\IN [/mm] heißt beschränkt, falls es ein M [mm] \in\IR [/mm] gibt, so daß für alle n [mm] \in \IN \parallel v_{n}\parallel \le [/mm] M gilt.
ich denke, dass ich diese Sachlichkeiten gebrauchen kann, aber im euklidischen VR komme ich durcheinander.
Warte auf eure Ideen.
Liebe GRüße
esra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 So 03.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> ich kann diese aufgabe irgentwie nicht lösen klingt wie
> analysis ist aber lineare algebra ..
Und wenn schon. Aber es ist in Wirklichkeit mehr lineare Algebra als du denkst!
> Eine Folge von Vektoren [mm]v_{n} n\in\IN[/mm] heißt beschränkt,
> falls es ein M [mm]\in\IR[/mm] gibt, so daß für alle n [mm]\in \IN \parallel v_{n}\parallel \le[/mm]
> M gilt.
Das braucht man schon.
Mal ein paar Tips: du wirst auf alle Fälle eine Menge [m]\{v_n\}[/m] von Vektoren finden, so dass diese lineare unabhängig ist. Gut, über die weiß man nicht viel. Ich hoffe, du kennst das Gram-Schmidt-Verfahren. Lasse dich davon inspirieren, um eine Menge von Vektoren [m]\{b_n\}[/m] mit [m]=\delta_{nm}[/m] und [m]||b_n-b_m||=\sqrt{2}[/m].
SEcki
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