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| Aufgabe | Die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] sei differenzierbar in [mm]x_0[/mm]. Zeige, dass dann für beliebige Nullfolgen positiver Zahlen [mm](\underline{h_n})_{n \in N})[/mm], [mm](\overline{h_n})_{n \in N}[/mm] gilt:
[mm]f'(x_0) = \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{f(x_0+\overline{h_n})-f(x_0-\underline{h_n})}{\overline{h_n}+\underline{h_n}}[/mm] |
Hallo,
hier fehlt mir leider komplett der Ansatz. Muss ich einfach nur zeigen dass [mm]|f(x_0) - f(x_0 - \underline{h_n})| < \epsilon[/mm] - [mm]\forall \epsilon[/mm], wenn ich nur ein groß genuges n wähle?
Oder was ist hier zu tun?
Würde mich über eine kleine Hilfestellung freuen.
Mfg,
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:00 Do 29.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Um die Schreiberei zu vereinfachen setzen wir
[mm] (a_n) [/mm] = $ [mm] (\overline{h_n})_{n \in N}$ [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] = $ [mm] (\underline{h_n})_{n \in N}$
[/mm]
Weiter sei [mm] A_n [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0+a_n)-f(x_0)}{a_n} [/mm] und [mm] B_n [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0-b_n)-f(x_0)}{-b_n}
[/mm]
Es ist
[mm] |\bruch{f(x_0+a_n)-f(x_0-b_n)}{a_n+b_n} [/mm] - [mm] f'(x_0)| [/mm] = [mm] |\bruch{a_n}{a_n+b_n}A_n+ \bruch{b_n}{a_n+b_n}B_n-f'(x_0)| [/mm] =
[mm] |\bruch{a_n}{a_n+b_n}(A_n-f'(x_0))+ \bruch{b_n}{a_n+b_n}(B_n-f'(x_0))| \le \bruch{a_n}{a_n+b_n}|A_n-f'(x_0)| [/mm] + [mm] \bruch{b_n}{a_n+b_n}|B_n-f'(x_0)|
[/mm]
Nun sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] |A_n-f'(x_0)|< \varepsilon [/mm] und [mm] |B_n-f'(x_0)|< \varepsilon [/mm] für n> N.
Somit ist
[mm] |\bruch{f(x_0+a_n)-f(x_0-b_n)}{a_n+b_n} [/mm] - [mm] f'(x_0)|< \varepsilon [/mm] für n> N.
FRED
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