Erzeugte Sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] n\in\IN [/mm] sei [mm] \mathcal{A}_n [/mm] die von [mm] \big\{\{1\},\{2\},\ldots,\{n\}\big\} [/mm] erzeugte [mm] \sigma-\text{Algebra} [/mm] auf [mm] \IN.
[/mm]
Zeige:
1. [mm] \mathcal{A}_n [/mm] besteht aus genau den Mengen [mm] A\subset\IN, [/mm] für welche entweder [mm] A\subset\{1,\ldots,n\} [/mm] oder [mm] m\in{A} [/mm] für alle [mm] m\geq{n+1} [/mm] gilt.
2. [mm] \bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n [/mm] ist keine [mm] \sigma-\text{Algebra} [/mm] |
Hallo Forum,
da ich in Maßtheorie nicht gerade fit bin, bereitet mir obige Aufgabe Probleme und ich bin dankbar für eure Hilfe.
Zu 1.:
Zunächst habe ich insofern ein Verständnisproblem, dass ich mich frage, wieso [mm] \mathcal{A}_n [/mm] nicht nur aus Mengen [mm] A\subset\{1,\ldots,n\} [/mm] besteht?
Dann weiß ich auch nicht, was ich formal zeigen soll, also ein Ansatz fehlt mir und für 2. brauch ich bestimmt 1.?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]n\in\IN[/mm] sei [mm]\mathcal{A}_n[/mm] die von
> [mm]\big\{\{1\},\{2\},\ldots,\{n\}\big\}[/mm] erzeugte
> [mm]\sigma-\text{Algebra}[/mm] auf [mm]\IN.[/mm]
> Zeige:
> 1. [mm]\mathcal{A}_n[/mm] besteht aus genau den Mengen [mm]A\subset\IN,[/mm]
> für welche entweder [mm]A\subset\{1,\ldots,n\}[/mm] oder [mm]m\in{A}[/mm]
> für alle [mm]m\geq{n+1}[/mm] gilt.
>
> 2. [mm]\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n[/mm] ist keine
> [mm]\sigma-\text{Algebra}[/mm]
> Hallo Forum,
>
> da ich in Maßtheorie nicht gerade fit bin, bereitet mir
> obige Aufgabe Probleme und ich bin dankbar für eure
> Hilfe.
>
> Zu 1.:
> Zunächst habe ich insofern ein Verständnisproblem, dass
> ich mich frage, wieso [mm]\mathcal{A}_n[/mm] nicht nur aus Mengen
> [mm]A\subset\{1,\ldots,n\}[/mm] besteht?
Bedenke: ist $A [mm] \in \mathcal{A}_n$, [/mm] so gehört auch das Komplement von A zu [mm] \mathcal{A}_n
[/mm]
Es ist z. B.: $ A= [mm] \{1,\ldots,n\} [/mm] $ [mm] \in \mathcal{A}_n
[/mm]
Was ist das Komplement dieser Menge A ?
FRED
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> Dann weiß ich auch nicht, was ich formal zeigen soll, also
> ein Ansatz fehlt mir und für 2. brauch ich bestimmt 1.?
>
> Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
wo ist mein Denkfehler, wenn ich behaupte, dass für [mm] \var{A}= \{1,\ldots,n\}\in\mathcal{A}_n [/mm] gilt: [mm] A^C=\emptyset [/mm] und [mm] \mathcal{A}_n [/mm] besteht eben höchstens aus Teilmengen von [mm] \mathcal{P}\left(\big\{\emptyset,\{1\},\ldots,\{n\}\big\}\right) [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Du scheinst nicht verstanden zu haben, was das
"$ [mm] \mathcal{A}_n [/mm] $ die von $ [mm] \big\{\{1\},\{2\},\ldots,\{n\}\big\} [/mm] $ erzeugte $ [mm] \sigma-\text{Algebra} [/mm] $ auf $ [mm] \IN. [/mm] $"
bedeutet oder wie es definiert ist. Schau in Deinen Unterlagen noch mal nach
FRED
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Genau,
also die von [mm] \big\{\{1\},\ldots,\{n\}\big\} [/mm] erzeugte [mm] \sigma-\text{Algebra} \mathcal{A}_n [/mm] ist die kleinste [mm] \sigma-\text{Algebra}, [/mm] die [mm] \big\{\{1\},\ldots,\{n\}\big\} [/mm] enthält. Ich würde somit [mm] \{1,\ldots,n\} [/mm] als Grundmenge nehmen und habe alle abzählbaren Vereinigungen der Elemente [mm] 1,\ldots,n [/mm] drin und die Komplemente dieser Elemente in dieser Grundmenge ?
Ist falsch und vielleicht fällt dir ja mein tieferes Verständnisproblem auf. Ansonsten denke ich nochmal drüber nach und melde mich morgen wieder. Ciao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also die von [mm]\big\{\{1\},\ldots,\{n\}\big\}[/mm] erzeugte
> [mm]\sigma-\text{Algebra} \mathcal{A}_n[/mm] ist die kleinste
> [mm]\sigma-\text{Algebra},[/mm] die [mm]\big\{\{1\},\ldots,\{n\}\big\}[/mm]
> enthält.
Exakt.
> Ich würde somit [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm] als Grundmenge
> nehmen
Eben nicht! Da steht doch: auf [mm] $\pmb{\IN}$. [/mm] Das ist deine Grundmenge. Nicht [mm] $\{ 1, \dots, n \}$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Fr 16.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Genau,
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> also die von [mm]\big\{\{1\},\ldots,\{n\}\big\}[/mm] erzeugte
> [mm]\sigma-\text{Algebra} \mathcal{A}_n[/mm] ist die kleinste
> [mm]\sigma-\text{Algebra},[/mm] die [mm]\big\{\{1\},\ldots,\{n\}\big\}[/mm]
> enthält. Ich würde somit [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm] als Grundmenge
> nehmen und habe alle abzählbaren Vereinigungen der
> Elemente [mm]1,\ldots,n[/mm] drin und die Komplemente dieser
> Elemente in dieser Grundmenge ?
>
> Ist falsch und vielleicht fällt dir ja mein tieferes
> Verständnisproblem auf. Ansonsten denke ich nochmal
> drüber nach und melde mich morgen wieder. Ciao
Wir haben:
1. {1}, {2}, ..., {n} [mm] \in \mathcal{A}_n,
[/mm]
2. [mm] \IN \in \mathcal{A}_n,
[/mm]
3. A [mm] \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \IN [/mm] \ A [mm] \in \mathcal{A}_n,
[/mm]
4. [mm] A_1, A_2, [/mm] ... [mm] \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \in \mathcal{A}_n
[/mm]
Die Eigenschaften 2., 3. und 4. solltest Du aus der Def. des Begriffs " [mm] \sigma [/mm] - Algebra" kennen.
Mit den obigen 4 Eigenschaften solltest Du nun in der Lage sein den Beweis zu führen.
FRED
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Ok, [mm] \IN\in\mathcal{A}_n, [/mm] so wie ihr beide geschrieben habt, erklärt meinen Denkfehler und die 1. Teilaufgabe leuchtet mir damit sofort ein und ich muss nur noch alles formal aufschreiben.
Zur 2. Teilaufgabe:
Also ich überprüfe die Eigenschaften einer [mm] \sigma-\text{Algebra}. [/mm] Die abzählbaren Vereinigungen aller Elemente aus [mm] \mathcal{A}_n [/mm] , [mm] \var{n}\in\IN [/mm] müssten schon aufgrund der Konstruktion wieder in [mm] \bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n [/mm] liegen.
Es dürfte also etwas mit den Komplementen irgendwelcher Vereinigungen nicht stimmen? Aber wieso sollte das so sein?
Vielen Dank auch weiterhin für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Fr 16.10.2009 | | Autor: | iks |
Hallo MrT!
Ich denke das du dir vorallem klarmachen musst, bevor du an den Beweis gehst, wie denn [mm] $\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n$ [/mm] aussieht (vllt erstmal für n=1??).
Was ist denn [mm] $A\cup A^C$? [/mm] Wenn [mm] $A^C=X\backslash [/mm] A$ und [mm] $A\subset [/mm] X$ ist
Was ist [mm] $A\cup\emptyset$ [/mm] und was [mm] $A\cup [/mm] A$?
Welche Mengen sind immer in einer Sigmaalgebra enthalten und sind die auch alle in [mm] $\bigcup_{n\in\IN}\mathcal{A}_n$?
[/mm]
Wenn ich richtig liege, dann ist zu fest gewähltem [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm] $\bigcup \mathcal{A}_n=\{\IN\}$.
[/mm]
mFg iks
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Mr.Teutone |
Danke nochmal für die Hilfe,
auch wenn ich mir nicht sicher bin, ob mir dein Beitrag weiter geholfen hätte. Die Mengen [mm] \mathcal{A}_n [/mm] sollte man sich min. für [mm] \var{n}=1,2 [/mm] einmal aufschreiben und ein Element, was nicht in [mm] \bigcup\mathcal{A}_n [/mm] liegt, ist bspw. [mm] 2\IN [/mm] (Menge der geraden Zahlen), da kein [mm] \var{n} [/mm] existiert, für dass [mm] 2\IN\in\mathcal{A}_n [/mm] und somit auch nicht [mm] 2\IN\in\bigcup\mathcal{A}_n. [/mm] Dies sind die wesentlichen Gedanken, die ich nur noch formal aufschreiben muss aber zum Ziel führen sollten.
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