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Erzeuger von sigma algebra: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:06 Mo 09.07.2012
Autor: physicus

Hallo zusammen

Sei [mm] $\{X_t\}, t\in [0,\infty)$ [/mm] eine Familie von Zufallsvariablen. Dann definiere ich die [mm] $\sigma$-Algebra $\sigma (X):=\sigma (\{X^{-1}_t(B);t\in [0,\infty), B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})$. [/mm] Wieso gilt folgendes:

[mm] \sigma (X) = \sigma (\{\bigcap_{j\in J}X^{-1}_j(B_j);J\subset [0,\infty), |J|\in \mathbb{N},B_j\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})[/mm]

Das $J$ ist also eine endliche Teilmenge von [mm] $[0,\infty)$ [/mm]

Danke und Gruss

nicolas

        
Bezug
Erzeuger von sigma algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Mo 09.07.2012
Autor: Marcel

Hallo Physicus,

> Hallo zusammen
>  
> Sei [mm]\{X_t\}, t\in [0,\infty)[/mm] eine Familie von
> Zufallsvariablen. Dann definiere ich die [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> [mm]\sigma (X):=\sigma (\{X^{-1}_t(B);t\in [0,\infty), B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})[/mm].
> Wieso gilt folgendes:
>  
> [mm]\sigma (X) = \sigma (\{\bigcap_{j\in J}X^{-1}_j(B_j);J\subset [0,\infty), |J|\in \mathbb{N},B_j\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})[/mm]
>  
> Das [mm]J[/mm] ist also eine endliche Teilmenge von [mm][0,\infty)[/mm]

wieso das genau gilt, kann ich Dir nicht sagen, weil ich es nicht nachgerechnet habe. Aber Deiner Frage entnehme ich, dass Dir nicht ganz klar ist, was eigentlich zu zeigen wäre:
zu zeigen ist, dass sowohl einerseits
[mm] $$\sigma (\{X^{-1}_t(B);t\in [0,\infty), B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}) \subseteq \sigma (\{\bigcap_{j\in J}X^{-1}_j(B_j);J\subset [0,\infty), |J|\in \mathbb{N},B_j\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}) [/mm] $$
als auch andererseits
[mm] $$\sigma (\{\bigcap_{j\in J}X^{-1}_j(B_j);J\subset [0,\infty), |J|\in \mathbb{N},B_j\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}) \subseteq \sigma (\{X^{-1}_t(B);t\in [0,\infty), B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})$$ [/mm]
gilt.

Gruß,
  Marcel

Bezug
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