Erzeugendensystem nachrechnen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Untersuchen sie ob die Teilmenge {(1)} [mm] \subseteq \IR^1 [/mm] eine Basis ist. |
hallöchen,
hier muss ich nun nachrechnen ob {(1)} eine Basis ist.
Dafür müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
(B1) B ist Erzeugendensystem
(B2) B ist linear unabhängig.
Mit B2 habe ich keine Probleme:
[mm] \alpha [/mm] 1 = 0 Daraus folgt dass [mm] \alpha [/mm] = 0 ist und damit ist B2 erfüllt.
Jedoch weiß ich überhaupt nicht wie ich B1 nachrechnen soll...
Ich habe hier eine Lösung, die lautet:
Sei x element [mm] \IR [/mm] daraus folgt: (x) = (x1) = x(1)
Jedoch versteh ich das überhaupt nicht!
Könnt ihr mir bitte erklären, was ich machen muss und warum ich das machen muss?
Liebe Grüße TasjaSofie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TasjaSophie,
also nach Definition ist [mm] $\{(1)\}\subset\IR^1$ [/mm] ein Erzeugendensystem genau dann, wenn sich jeder Vektor [mm] $v\in\IR^1$ [/mm] darstellen lässt als Linearkombination der Vektoren aus [mm] $\{(1)\}$ [/mm] (hier also des einzigen Vektors $(1)$).
Um das zu zeigen, nehmen wir uns also einen beliebigen Vektor [mm] $v\in\IR^1$ [/mm] her. Gesucht ist eine Darstellung von $v$ als Linearkombination des Vektors $(1)$.
Nach Definition von [mm] $\IR^1$ [/mm] hat $v$ die Gestalt $v=(x)$ für ein [mm] $x\in\IR$. [/mm] Nun gilt [mm] $v=(x)=(x\cdot1)=x\cdot(1)$, [/mm] also lässt sich in der Tat $v$ als Linearkombination von $(1)$ schreiben.
Gucken wir uns mal genauer die Gleichungen [mm] $(x)=(x\cdot1)=x\cdot(1)$ [/mm] an: Im ersten Schritt wurde die reelle Zahl $x$ lediglich als [mm] $x\cdot1$ [/mm] mit der reellen Zahl 1 und der gewöhnlichen Multiplikation reeller Zahlen geschrieben. Hinter dem letzten Gleichheitszeichen steht dann die reelle Zahl $x$ skalar multipliziert mit dem Vektor $(1)$ des [mm] $\IR$-Vektorraums \IR^1. [/mm] Nach Definition der skalaren Multiplikation in diesem Vektorraum ist das nichts anderes als [mm] $(x\cdot1)$, [/mm] was das zweite Gleichheitszeichen erklärt.
Klarer geworden? Sonst bitte nachfragen!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
hey tobi
irgendwie ist mir das ganze nicht klar geworden :(
ich nehme ein element und multipliziere es damit um zu schauen ob sich meine 1 als Linearkombination darstellen lässt? Bei mir hats leider noch nicht klick gemacht
Wenn ich zb {(1,2),(2,1)} testen soll ob es ein EZS ist, wie mach ich das dann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Gut, dass du nachfragst!
> hey tobi
> irgendwie ist mir das ganze nicht klar geworden :(
> ich nehme ein element und multipliziere es damit um zu
> schauen ob sich meine 1 als Linearkombination darstellen
> lässt? Bei mir hats leider noch nicht klick gemacht
Nicht der Vektor $(1)$, sondern der beliebig vorgegebene Vektor [mm] $v\in\IR^1$ [/mm] soll sich als Linearkombination des Vektors $(1)$ schreiben lassen. Und [mm] $x\cdot(1)$ [/mm] (wobei $v=(x)$) ist eine solche Linearkombination.
Mir ist noch nicht ganz klar, wo es hakt. Kannst du genauer benennen, welche Absätze meines ersten Posts unklar sind?
> Wenn ich zb {(1,2),(2,1)} testen soll ob es ein EZS ist,
> wie mach ich das dann?
Offenbar fragst du danach, ob [mm] $M:=\{(1,2),(2,1)\}$ [/mm] ein Erzeugendensystem des Vektorraumes [mm] $\IR^2$ [/mm] ist. Wenn M kein Erzeugendensystem sein soll, müssen wir einen Vektor [mm] $v\in\IR^2$ [/mm] finden, der sich NICHT als Linearkombination der Vektoren $(1,2)$ und $(2,1)$ schreiben lässt. Wollen wir dagegen zeigen, dass M ein Erzeugendensystem ist, müssen wir für jeden Vektor [mm] $v\in\IR^2$ [/mm] zeigen, dass er sich als Linearkombination der beiden Vektoren $(1,2)$ und $(2,1)$ schreiben lässt. In der Tat ist M hier ein Erzeugendensystem.
Um das zu zeigen, starten wir mit einem beliebigen Vektor [mm] $v\in\IR^2$. [/mm] Zu zeigen ist, dass v sich als Linearkombination von $(1,2)$ und $(2,1)$ schreiben lässt.
Zunächst überlegen wir uns, wie $v$ aussieht: Da [mm] $v\in\IR^2$ [/mm] hat $v$ die Gestalt $v=(x,y)$ für gewisse [mm] $x,y\in\IR$. [/mm] Nun müssen wir Skalare [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$ [/mm] angeben, so dass [mm] $(x,y)=\alpha_1\cdot(1,2)+\alpha_2\cdot(2,1)$ [/mm] gilt (also wir v als Linearkombination von $(1,2)$ und $(2,1)$ geschrieben haben).
Ich könnte dir jetzt einfach [mm] $\alpha_1,\alpha_2$ [/mm] (in Abhängigkeit von x und y) hinschreiben und dann nachrechnen, dass sie es tun, aber dann würden sie sehr "vom Himmel fallen". Daher würde ich es ggf. gerne dir überlassen, die beiden Gleichungen, die sich aus [mm] $(x,y)=\alpha_1\cdot(1,2)+\alpha_2\cdot(2,1)$ [/mm] ergeben, nach [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2$ [/mm] aufzulösen. Um diese beiden Gleichungen zu erhalten, "rechne" die rechte Seite aus und betrachte die entstehende Gleichung komponentenweise.
Diese Aufgabe ist deutlich aufwendiger zu lösen als die ursprüngliche.
|
|
|
| |
|
bei der zweiten Aufgabe hast du (x,y) als Vektor gewählt. Kann ich zum Beispiel auch einfach (1,0) wählen oder irgendeinen anderen oder MUSS ich das immer mit (x,y) im [mm] R^2, [/mm] mit (x,y,z) im [mm] R^3 [/mm] usw machen???
Okay ich versuche das auszurechen und schreibe es dann wieder hierrein.
Kann ich das bei dem ersten Beispiel dann auch so machen, dass ich für (x) einfach ne Zahl einsetze oder ist das falsch?
Ich habe das zweite Beispiel jetzt statt (x,y) mit (1,0) gerechnet und habe dann heraus bekommen dass alpha= 2/3 und beta = -1/3 sind.
Und das sagt mir jetzt was?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> bei der zweiten Aufgabe hast du (x,y) als Vektor gewählt.
> Kann ich zum Beispiel auch einfach (1,0) wählen oder
> irgendeinen anderen oder MUSS ich das immer mit (x,y) im
> [mm]R^2,[/mm] mit (x,y,z) im [mm]R^3[/mm] usw machen???
> Okay ich versuche das auszurechen und schreibe es dann
> wieder hierrein.
> Kann ich das bei dem ersten Beispiel dann auch so machen,
> dass ich für (x) einfach ne Zahl einsetze oder ist das
> falsch?
In beiden Fällen musst du für ALLE Vektoren $v$ des jeweils zugrunde liegenden Vektorraumes etwas zeigen, nicht nur für einen Vektor $v$. Also darfst du nicht voraussetzen, dass $v$ irgendeine ganz spezielle Gestalt wie z.B. (1,0) hat.
> Ich habe das zweite Beispiel jetzt statt (x,y) mit (1,0)
> gerechnet und habe dann heraus bekommen dass alpha= 2/3 und
> beta = -1/3 sind.
> Und das sagt mir jetzt was?
S.o.: Das reicht nicht. (Offenbar sind bei dir [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] das, was bei mir [mm] $\alpha_2$ [/mm] und [mm] $\alpha_1$ [/mm] (in dieser Reihenfolge!) war?)
|
|
|
| |
|
ja sorry ich hab nicht mehr gewusst dass du alpha1 und alpha2 geschrieben hattest ;)
Habs jetzt gerechnet (mit alpha1 und 2 :) )
Alpha 1 = -1/3 x +2/3y
Alpha 2 = 2/3 x - 1/3y
Und was sagt mir das jetzt für mein Erzeugendensystem?
Das ich meinen Vektor (x,y) als alphas so darstellen kann, dass wieder (x,y) rauskommt und ich somit ein EZS habe???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> ja sorry ich hab nicht mehr gewusst dass du alpha1 und
> alpha2 geschrieben hattest ;)
Kein Problem!
> Habs jetzt gerechnet (mit alpha1 und 2 :) )
> Alpha 1 = -1/3 x +2/3y
> Alpha 2 = 2/3 x - 1/3y
Das sieht gut aus!
> Und was sagt mir das jetzt für mein Erzeugendensystem?
> Das ich meinen Vektor (x,y) als alphas so darstellen kann,
> dass wieder (x,y) rauskommt und ich somit ein EZS habe???
Am einfachsten (zum Aufschreiben eines kompletten Beweises, dass M Erzeugendensystem von [mm] $\IR^2$ [/mm] ist) ist, du vergisst nun, wie du auf [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2$ [/mm] gekommen bist, und rechnest nur nach, dass [mm] $\alpha_1\cdot(1,2)+\alpha_2\cdot(2,1)=(x,y)$ [/mm] gilt. Das komplettiert den von mir in einem vorherigen Post angefangenen Beweis (Mach dir gegebenenfalls nochmal genau klar, was zu zeigen war. Haben wir das nun gezeigt?).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tasjasofie |
Ja wir wollten zeigen, dass sich jeder Vektor (x,y) als Linearkombination schreiben lässt. Und das haben wir ja nun gezeigt.
Ich glaube ich hab jetzt auch kapiert, wie meine erste Aufgabe geht.
Ich kann ja einfach schreiben:
/alpha (1) = (x)
dann löse ich nach /alpha auf und erhalte x. Das wäre ja jetzt der gleiche Weg wie bei dem zweiten Beispiel. Ich hoffe das das auch geht!!!
Vielen Lieben Dank, dass du dir so viel Zeit genommen hast um mir das zu erklären!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ich kann ja einfach schreiben:
> /alpha (1) = (x)
> dann löse ich nach /alpha auf und erhalte x. Das wäre ja
> jetzt der gleiche Weg wie bei dem zweiten Beispiel. Ich
> hoffe das das auch geht!!!
Das wäre ein guter Weg, um ein geeignetes [mm] $\alpha$ [/mm] zu finden. Schöner und kürzer aufschreiben lässt sich die Lösung so, wie es in deiner Musterlösung oder meiner Lösung geschehen ist.
Insbesondere muss bei deinem Weg, wie ich ihn verstehe, erkennbar sein, dass nicht nur WENN es ein [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] (1) = (x)$ gibt, dieses [mm] $\alpha=x$ [/mm] ist, sondern auch, dass mit [mm] $\alpha=x$ [/mm] auch tatsächlich [mm] $\alpha [/mm] (1) = (x)$ erfüllt ist. Mit anderen Worten: Wichtig ist, dass beim Lösen von [mm] $\alpha [/mm] (1) = (x)$ nur Äquivalenzumformungen verwendet wurden (was hier sicherlich der Fall ist).
> Vielen Lieben Dank, dass du dir so viel Zeit genommen hast
> um mir das zu erklären!!!
Gern geschehen!
|
|
|
|
