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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 So 03.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie,dass [mm] A={\vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{1 \\ 2 \\ 1},\vektor{0 \\ 0 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 1}} [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] V_{3}. [/mm] |
Hallo^^
Ich komme bei dieser Aufgabe an einer Stelle nicht mehr weiter.Also es muss ja gelten: [mm] \vec{x}=\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}=r*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+s*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+t*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+u*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}.Daraus [/mm] ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
x1=r+s
x2=2r+2s+u
x3=3r+s+t+u
Dieses muss ich nach r,s,t und u auflösen,aber ich habe hier 4 Variablen und nur 3 Gleichungen.Wie mache ich das denn dann?
Ich hab schonmal ein wenig umgestellt und hab raus,dass u=x2-2*x1 ist.
Aber wie mache ich hier weiter?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 So 03.01.2010 | | Autor: | nooschi |
ich nehme einmal an [mm] V_{3}=R^{3} [/mm] ??
du hast mehr unbekannte als Gleichungen -> es kann mehrere Lösungen geben. (Hast du schon was von Dimension und Basis gehört? dann wäre das logisch, weil [mm] R^{3} [/mm] auch nur durch 3 Vektoren erzeugt werden kann. )
ich würde jetzt zum Beispiel einfach s=0 setzten und dann so weiterrechnen (dann hast du drei Gleichungen und 3 unbekannte), so bekommst du eine Lösung für r, t, u in abhängigkeit von [mm] x_{1},x_{2},x_{3} [/mm] und somit hast du also gezeigt, dass du den Vektor [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] als Linearkombination von den vier Vektoren darstellen kannst [mm] \Rightarrow [/mm] die vier Vektoren sind also Erzeugendensystem von [mm] R^{3}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 03.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> ich nehme einmal an [mm]V_{3}=R^{3}[/mm] ??
>
> du hast mehr unbekannte als Gleichungen -> es kann mehrere
> Lösungen geben. (Hast du schon was von Dimension und Basis
> gehört? dann wäre das logisch, weil [mm]R^{3}[/mm] auch nur durch
> 3 Vektoren erzeugt werden kann. )
>
> ich würde jetzt zum Beispiel einfach s=0 setzten und dann
ok,kann ich aber auch für s eine andere beliebige Zahl einsetzen oder nicht für s,sondern für u,t oder r eine beliebige Zahl und somit das System lösen?
lg
> so weiterrechnen (dann hast du drei Gleichungen und 3
> unbekannte), so bekommst du eine Lösung für r, t, u in
> abhängigkeit von [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] und somit hast du also
> gezeigt, dass du den Vektor [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
> als Linearkombination von den vier Vektoren darstellen
> kannst [mm]\Rightarrow[/mm] die vier Vektoren sind also
> Erzeugendensystem von [mm]R^{3}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 03.01.2010 | | Autor: | nooschi |
für s kannst du jede beliebige Zahl einsetzen, mit 0 ist es halt am einfachsten. du kannst natürlich auch eine der anderen Variablen beliebig setzen, aber man sieht schnell, dass wenn du t als eine Konstante setzt, dass dann keine Lösung mehr rauskommt.
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