ErzeugendenSystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Fr 15.07.2005 | | Autor: | papi84 |
Hallo Leute :)
hier stehe ich vor meiner Prüfung und ich habe einige Unklarheiten. Soo, ich verstehe die Sache mit den ErzeugenenSystem und die Faktorstruktur nicht ganz :( .... z.B. die Aufgabe:zu zeigen ist ,dass die Menge von Permutationen U= { (1), (13), (24), (13)(24)} eine Untergruppe von
(S _{4}, [mm] \circ [/mm] ) bildet und ein ErzeugendenSystem ist zu geben.
Soo, ich habe bewiesen die Abgeschlossenheit von [mm] \circ [/mm] in U und weil das eine endliche Menge ist , das reicht . Aber was ist mit dem Erzeugendensystem??? wie kann ich sie bekommen ??? icha habe keine Ahnung....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Fr 15.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Papi84!
> hier stehe ich vor meiner Prüfung und ich habe einige Unklarheiten.
Na, dann wollen wir die doch mal beseitigen ;)
> Soo, ich verstehe die Sache mit den ErzeugenenSystem und die Faktorstruktur nicht ganz :( .... z.B. die Aufgabe:zu zeigen ist ,dass die Menge von Permutationen U= { (1), (13), (24), (13)(24)} eine Untergruppe von (S _{4}, $ [mm] \circ [/mm] $ ) bildet und ein ErzeugendenSystem ist zu geben.
> Soo, ich habe bewiesen die Abgeschlossenheit von $ [mm] \circ [/mm] $ in U und weil das eine endliche Menge ist , das reicht .
Es handelt sich bei $U$ um eine Untergruppe, das stimmt schon, aber deine Begründung erscheint mir nicht richtig. Willst du zeigen, dass $U$ bezüglich [mm] $\circ$ [/mm] abgeschlossen ist, musst du zeigen, dass für zwei beliebige Elemente [mm] $u_1,u_2\in [/mm] U$ auch ihr Produkt [mm] $u_1\circ u_2$ [/mm] in $U$ liegt. Dies hat aber nichts damit zu tun, dass eine Menge $U$ endlich ist. Die Menge [mm] $U'\{1,(12),(34)\}$ [/mm] ist auch endlich, bildet aber bezüglich [mm] $\circ$ [/mm] keine Untergruppe von [mm] $S_4$, [/mm] denn [mm] $(12)(34)\notin [/mm] U'$. Falls ich mich irren sollte, bitte ich dich, mir etwas genauer zu erklären, wie deine Begründung mit Verwendung der Endlichkeit von $U$ zu verstehen ist.
Meinst du es vielleicht so: da $U$ endlich ist, kannst du einfach alle Paare von Elementen aus $U$ bilden und prüfen, ob das Produkt der ausgewählten Elemente in $U$ liegt? Wenn ja, dann ist das genau das, was in diesem (einfachen) Beispiel zu tun ist. Du wählst 2 der 4 Elemente aus $U$ aus und prüfst, ob ihr Produkt in $U$ liegt. Z.b. muss mit $(13)$ und $(24)$ auch $(13)(24)$ in $U$ liegen, was der Fall ist. Es muss [mm] $(24)^2=1$ [/mm] in $U$ liegen, was ebenfalls gegeben ist - usw. So prüfst du alle Paare und kommst zu dem Schluss, dass $U$ bezüglich [mm] $\circ$ [/mm] abgeschlossen ist.
Ferner musst du noch zeigen, dass mit [mm] $u\in [/mm] U$ auch [mm] $u^{-1}$ [/mm] in $U$ liegt. Nun, bei einer Permutationsgruppe [=einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe] folgt dies schon aus der Abgeschlossenheit: sei [mm] $u\in [/mm] U$, so hat $u$ endliche Ordnung [nämlich den kgV der endlichen Zyklenlängen] $k$; dann ist [mm] $u^k=1$ [/mm] und [mm] $u^{-1}=u^{k-1}$. [/mm] Damit ist ebenfalls gezeigt, dass das neutrale Element in $U$ liegt.
> Aber was ist mit dem Erzeugendensystem??? wie kann ich sie bekommen ??? icha habe keine Ahnung....
Das gehen wir am besten ein wenig allgemeiner an: es sei [mm] $(G,\cdot)$ [/mm] eine Gruppe. Wir sagen, die Teilmenge [mm] $X\subseteq [/mm] G$ sei ein Erzeugendensystem von $G$, wenn es für alle [mm] $g\in [/mm] G$ ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] und $n$ Elemente [mm] $a_1,a_2,...,a_n\in [/mm] G$ gibt, für die für alle $i=1,2,...,n$ entweder [mm] $a_i\in [/mm] X$ oder [mm] $a_i^{-1}\in [/mm] X$, und [und das ist das Entscheidende] [mm] $g=a_1\cdot a_2\cdots a_n$ [/mm] gilt. D.h.: jedes Element aus $G$ ist endliches Produkt von Elementen bzw. den Inversen von Elementen aus $X$. Ein triviales Erzeugendensystem ist die Teilmenge $G$ selbst; denn jedes Element aus $G$ ist Produkt von genau einem Element aus (jetzt der Teilmenge) $G$, liegt also im Erzeugnis von $G$. Du siehst: Erzeugendensysteme findest du immer, selbst wenn es nur die Gruppe selbst ist. Man sagt allerdings, eine Gruppe $G$ sei endlich erzeugt, wenn es ein endliches Erzeugendensystem von $G$ gibt; dann ist es schon etwas anspruchsvoller (vorausgesetzt, $G$ selbst ist nicht endlich) , ein endliches Erzeugendensystem von $G$ zu finden.
Diese Informationen zeigen, dass deine Aufgabe ein wenig witzlos ist; ein Erzeugendensystem ist die Menge $U$ selbst; nun könnte man aber auch nach einem minimalen Erzeugendensystem frage, d.h. nach einer Teilmenge, die $U$ erzeugt, die aber eine minimale Anzahl an Elementen beinhaltet; eine solche wäre in diesem Falle die Teilmenge [mm] $M:=\{(13),(24)\}\subset [/mm] U$. Um zu zeigen, dass sie ein Erzeugendensystem von $U$ ist, musst du nur prüfen, ob auch wirklich jedes Element aus $U$ endliches Produkt von Elementen oder Inversen von Elementen aus $M$ ist; klar, das Einselement ist leeres Produkt, alternativ haben wir aber auch [mm] $1=(12)^2\in\langle M\rangle$. [/mm] Dass $(13)$ und $(24)$ in [mm] $\langle M\rangle$ [/mm] liegen, ist trivial; es bleibt $(13)(24)$; dies ist aber [mm] $(13)\circ [/mm] (24)$, d.h. Produkt zweier Elemente aus $M$; somit liegt auch $(13)(24)$ in [mm] $\langle M\rangle$. [/mm] Damit haben wir ein minimales Erzeugendensystem von $U$ gefunden.
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Fr 15.07.2005 | | Autor: | papi84 |
Hallo Hanno!
> > Soo, ich verstehe die Sache mit den ErzeugenenSystem und
> die Faktorstruktur nicht ganz :( .... z.B. die Aufgabe:zu
> zeigen ist ,dass die Menge von Permutationen U= { (1),
> (13), (24), (13)(24)} eine Untergruppe von (S _{4}, [mm]\circ[/mm] )
> bildet und ein ErzeugendenSystem ist zu geben.
> > Soo, ich habe bewiesen die Abgeschlossenheit von [mm]\circ[/mm]
> in U und weil das eine endliche Menge ist , das reicht .
>
> Es handelt sich bei [mm]U[/mm] um eine Untergruppe, das stimmt
> schon, aber deine Begründung erscheint mir nicht richtig.
ich meinte damit , dass ich die Abgeschlossenheit schon bewiesen habe ( dieselbe Methode wie deine ) und da die Menge endlich ist , ich muss nicht die Abgeschlossenheit der Inversenbuldung.das ist regel!
sonst danke ich dir für die ausführliche Information . Du hast mir sehr geholfen und ich denke ich habe die Sache mit dem Erzsystem endlich kapiert :) Vielen Dank
Grüsse,
Peter
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