Erzeugende Funktion (Varianz) < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Mir ist bekannt, dass Erwartungswert einer Potenzreihe die erste Ableitung derer erzeugenden Funktion ist.
Es gilt [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} t^{n} = \bruch{1}{(1-t)} [/mm] also gilt bei gliedweisem Ableiten auch [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} nt^{n-1} = (\bruch{1}{(1-t)})' = \bruch{1}{(1-t)^{2}} [/mm]
[mm] E_{t} = \summe_{n=0}^{ \infty} nt^{n} = t \summe_{n=1}^{ \infty} nt^{n-1} = \bruch{t}{(1-t)^{2}} [/mm]
ggf. ist noch mit (1-t) zu multiplizieren, um die 1-Normierung der Potenzreihe zu erreichen.
Meine Frage ist nun wie diese obere Herleitung mit der Varianz funktioniert. Mein Ansatz ist:
[mm] V_{t} = \summe_{n=0}^{ \infty} (n-E_{t})^2t^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (n-\bruch{t}{(1-t)^{2}})^2t^{n}[/mm]
Dies soll also identisch mit der zweiten Ableitung sein. Also:
[mm] V_{t} = t^2\summe_{n=2}^{ \infty} n(n-1)t^{n-2} [/mm]
Wie leitet man das her?
Gruß und vielen Dank schonmal.
Markus
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 13.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
