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Erzeugende-Systeme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:15 Do 09.02.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Sind A,B zwei Teilmengen eines Vektorraums V dann gilt für die lineare Hülle
<A [mm] \cap B>\subseteq\cap [/mm]
Aber im Algemeinen gilt keine Gleichheit. Erläutere dies an einem Bsp.

ZuZeigen: [mm] \subseteq\cap [/mm]

A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A => <A [mm] \cap [/mm] B> [mm] \subseteq [/mm] <A>
A [mm] \cap B\subseteq [/mm] B => <A [mm] \cap [/mm] B> [mm] \subseteq [/mm] <B>
Irgendwie komme ich nicht zum Endresultat.

Könnt ihr mir für das Bsp, einen Tipp geben?Ich hab schon überlegt mit Geraden und Ebenen zu arbeiten, aber es kam nichts bracuhbares raus.
DANKE
LG
        
Bezug
Erzeugende-Systeme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:19 Do 09.02.2012
Autor: fred97


> Sind A,B zwei Teilmengen eines Vektorraums V dann gilt für
> die lineare Hülle
>  <A [mm]\cap B>\subseteq\cap[/mm]
>  Aber im Algemeinen gilt
> keine Gleichheit. Erläutere dies an einem Bsp.
>  ZuZeigen: [mm]\subseteq\cap[/mm]
>  
> A [mm]\cap[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] A => <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <A>
>  A [mm]\cap B\subseteq[/mm] B => <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <B>

>  Irgendwie komme ich nicht zum Endresultat.

Wieso nicht ? Aus <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <A>  und  <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <B>  folgt doch sofort

              
<A $ [mm] \cap B>\subseteq\cap [/mm] $.


>  
> Könnt ihr mir für das Bsp, einen Tipp geben?Ich hab schon
> überlegt mit Geraden und Ebenen zu arbeiten, aber es kam
> nichts bracuhbares raus.



Sei V endlichdimensional.


Sei B eine Basis von V und A= { x }, wobei x [mm] \in [/mm] V \ B

Was ist A [mm] \cap [/mm] B ?   Was ist <A [mm] \cap [/mm] B> ?  Was ist <B> ? Was ist <A> ? Was ist Was ist <A> [mm] \cap [/mm] <B> ?


FRED
>  DANKE
>  LG

Bezug
                
Bezug
Erzeugende-Systeme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Do 09.02.2012
Autor: sissile

Hallo fred
>  >  ZuZeigen: [mm]\subseteq\cap[/mm]
>  >  
> > A [mm]\cap[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] A => <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <A>
>  >  A [mm]\cap B\subseteq[/mm] B => <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <B>

>  >  Irgendwie komme ich nicht zum Endresultat.
>  
> Wieso nicht ? Aus <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <A>  und  <A [mm]\cap[/mm] B>

> [mm]\subseteq[/mm] <B>  folgt doch sofort

>  
>
> <A [mm]\cap B>\subseteq\cap [/mm].

Ja un dieses "folgt doch sofort" ist mir nicht klar. Es ist sicher eine einfache Folgerung, aber ich hab da eine Blockade.
>
> >  

> > Könnt ihr mir für das Bsp, einen Tipp geben?Ich hab schon
> > überlegt mit Geraden und Ebenen zu arbeiten, aber es kam
> > nichts bracuhbares raus.
>  
>
>
> Sei V endlichdimensional.
>  
>
> Sei B eine Basis von V und A= { x }, wobei x [mm]\in[/mm] V \ B
>  
> Was ist A [mm]\cap[/mm] B ?   Was ist <A [mm]\cap[/mm] B> ?  Was ist <B> ?
> Was ist <A> ? Was ist Was ist <A> [mm]\cap[/mm] <B> ?

Ich weiß nicht ganz, ob wir mit Basen arbeiten sollen. Da das Kapitel der Basen danach kam und das Bsp auch lösbar sein sollte ohne das Vorwissen.
<A>= [mm] \lambda [/mm] x, also eine Gerade
[mm] =\lambda [/mm] b
b..Basis von V
Ich komme da nicht ganz zurecht.
Könntest du mir das erklären?

Was ich mir noch überlegt habe:
[mm] A={\vektor{x \\ y}} [/mm]
[mm] B={\vektor{3x \\ 3y}} [/mm]

<A>= [mm] \lambda *\vektor{x \\ y} [/mm]
[mm] =\lambda [/mm] * [mm] \vektor{3x \\ 3y} [/mm]
<A> [mm] \cap [/mm] <B> = Gerade [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm]
A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm]
< A [mm] \cap [/mm] B>={0}
Bezug
                        
Bezug
Erzeugende-Systeme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Do 09.02.2012
Autor: fred97


> Hallo fred
>  >  >  ZuZeigen: [mm]\subseteq\cap[/mm]
>  >  >  
> > > A [mm]\cap[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] A => <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <A>
>  >  >  A [mm]\cap B\subseteq[/mm] B => <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <B>

>  >  >  Irgendwie komme ich nicht zum Endresultat.
>  >  
> > Wieso nicht ? Aus <A [mm]\cap[/mm] B> [mm]\subseteq[/mm] <A>  und  <A [mm]\cap[/mm] B>

> > [mm]\subseteq[/mm] <B>  folgt doch sofort

>  >  
> >
> > <A [mm]\cap B>\subseteq\cap [/mm].
>  Ja un dieses "folgt doch
> sofort" ist mir nicht klar. Es ist sicher eine einfache
> Folgerung, aber ich hab da eine Blockade.


Das ist doch einfachste Mengenlehre !

Sind X,Y und Z Mengen und gilt

            X [mm] \subseteq [/mm] Y und X [mm] \subseteq [/mm] Z,

so ist doch X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \cap [/mm] Z



> >
> > >  

> > > Könnt ihr mir für das Bsp, einen Tipp geben?Ich hab schon
> > > überlegt mit Geraden und Ebenen zu arbeiten, aber es kam
> > > nichts bracuhbares raus.
>  >  
> >
> >
> > Sei V endlichdimensional.
>  >  
> >
> > Sei B eine Basis von V und A= { x }, wobei x [mm]\in[/mm] V \ B
>  >  
> > Was ist A [mm]\cap[/mm] B ?   Was ist <A [mm]\cap[/mm] B> ?  Was ist <B> ?
> > Was ist <A> ? Was ist Was ist <A> [mm]\cap[/mm] <B> ?
> Ich weiß nicht ganz, ob wir mit Basen arbeiten sollen. Da
> das Kapitel der Basen danach kam und das Bsp auch lösbar
> sein sollte ohne das Vorwissen.
>  <A>= [mm]\lambda[/mm] x, also eine Gerade
>  [mm]=\lambda[/mm] b
>  b..Basis von V
>  Ich komme da nicht ganz zurecht.
>  Könntest du mir das erklären?
>  
> Was ich mir noch überlegt habe:
>  [mm]A={\vektor{x \\ y}}[/mm]
>  [mm]B={\vektor{3x \\ 3y}}[/mm]
>
> <A>= [mm]\lambda *\vektor{x \\ y}[/mm]
>  [mm]=\lambda[/mm] * [mm]\vektor{3x \\ 3y}[/mm]
> <A> [mm]\cap[/mm] <B> = Gerade [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]




Kannst Du das auch noch korrekt aufschreiben ? Rechts stehen jeweils Mengen und keine Vektoren.
>  A [mm]\cap[/mm] B =
> [mm]\emptyset[/mm]


Aber nur wenn x [mm] \ne [/mm] 0 oder y [mm] \ne [/mm] 0 ist
>  < A [mm]\cap[/mm] B>={0}


Jo

FRED

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Erzeugende-Systeme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Do 09.02.2012
Autor: sissile

Also das gesamte nur in Mengenklammer aufschreiben?
> nur wenn x $ [mm] \ne [/mm] $ 0 oder y $ [mm] \ne [/mm] $ 0

Ja das muss ich noch ergänzen.

Wie ist es aber nun in deinen vorgezeigten Bsp?

LG
Bezug
                                        
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Erzeugende-Systeme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Do 09.02.2012
Autor: fred97


> Also das gesamte nur in Mengenklammer aufschreiben?

Mach mal.


>  > nur wenn x [mm]\ne[/mm] 0 oder y [mm]\ne[/mm] 0

>  Ja das muss ich noch ergänzen.
>  
> Wie ist es aber nun in deinen vorgezeigten Bsp?

Wir hatten:

Sei V endlichdimensional.


Sei B eine Basis von V und A= { x }, wobei x $ [mm] \in [/mm] $ V \ B

Was ist A $ [mm] \cap [/mm] $ B ?  

Antwort: leere Menge


Was ist <A $ [mm] \cap [/mm] $ B> ?  


<A $ [mm] \cap [/mm] $ B>= { 0 }

Was ist <B> ?

<B> =V


Was ist <A> ?

<A>= { tx: t [mm] \in [/mm] K }

Was ist <A> $ [mm] \cap [/mm] $ <B> ?

<A> $ [mm] \cap [/mm] $ <B>= <A>


FRED
>  
> LG

Bezug
                                                
Bezug
Erzeugende-Systeme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 Do 09.02.2012
Autor: sissile

okay, vielen lieben Dank für die Hilfe.
LG
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