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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erwartungswert und Faltung
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Erwartungswert und Faltung: Verbesserung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Do 17.05.2012
Autor: Katze_91

Aufgabe
a) Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsvariablen [mm] X_1,X_2 [/mm] mit der Dichtefunktion
[mm] f_{X_i}(x)=\lambda exp(-\lambda [/mm] x), i [mm] \in [/mm] {1,2}, x >0, [mm] \lambda [/mm] >0
(i) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von [mm] X_1 [/mm] und berechnen Sie [mm] E[X_1] [/mm]
(ii) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Z= [mm] X_1+X_2. [/mm] Folgern Sie, dass die Summe zweier exponential verteilter Zufallsvariablen nicht exponentialverteilt ist.
(iii) Sei X eine exponential verteilte Zufallsvariable. Man zeige und interpretiere
P(X [mm] \ge [/mm] m+n | X [mm] \ge [/mm] n)= P(X [mm] \ge [/mm] m)


hallo
ich schon wieder...Stochastik ist nicht so meins :(

also bei der
(i)
habe ich es so gemacht, dass die Dichte ja die Ableitung der Verteilungsfunktion ist, also muss ich integrieren also:
[mm] F_1(x)=P(x_1 \le x)=\limes_{n\rightarrow 0} \integral_{n}^{x} \lambda exp(-\lambda [/mm] t)dt, da ja x>0 ist
und daraus hab ich dann
[mm] F_1(x)=-exp(-\lambda [/mm] x)+1

als erstes war ich unsicher wegen der +1 aber wenn man bedenkt, dass eine verteilungsfunktion für werte gegen unendlich gegen 1 geht und für welche gegen minus unendlich (in diesem fall gegen null) gegen null sollte das doch passen oder?

(ii)
ich hab im Skript folgende formel (ich glaube dass ist die faltungsformel) gefunden:
für Z=X+Y mit der Verteilungsfunktion F und G gilt:
[mm] H(\lambda)= [/mm] P(x+y [mm] \le \lambda)=\integral F(\lambda-\nu)dG(\nu) [/mm] mit der Dichte (wenn f und g dichten von F und G sind)
[mm] h(\lambda)\integral f(\lambda [/mm] - [mm] \nu)g(\nu)d\nu [/mm]

mit der Formel hab ich jetzt
[mm] h(x)=\limes_{n \rightarrow 0} \integral_{n}^{x} f_{X_1}(x-\nu)f_{X_2}(\nu)d\nu =\lambda^2exp(-\lambda [/mm] x)x berechnet
und dann
[mm] H(x)=\limes_{n\rightarrow 0}\integral_{n}^{x} \lambda^2 exp(-\lambda [/mm] t)dt= [mm] -exp(\lambda [/mm] x)( [mm] \lambda [/mm] x +1)+1

kann ich jetzt daraus folgern, dass die summe zweier exponential verteilter zufallsvariablen nich exponentialverteilt sein muss? nur wegen dem linearen teil?

(iii) ich versteh nicht so ganz was, P(X [mm] \ge [/mm] m+n | X [mm] \ge [/mm] n) bedeutet, zumindest dieses "| X [mm] \ge [/mm] n " soll das eine eingeschränkte wahrscheinlichkeit ... bzw. halt verteilungsfunktion sein?

Wäre lieb wenn mir hier jemand weiter helfen kann

LG
Katze

        
Bezug
Erwartungswert und Faltung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Fr 18.05.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  ich schon wieder...Stochastik ist nicht so meins :(

Dabei ist sie doch so schön ;-)

> also bei der
> (i)
> habe ich es so gemacht, dass die Dichte ja die Ableitung
> der Verteilungsfunktion ist, also muss ich integrieren

[ok]

> also:
>  [mm]F_1(x)=P(x_1 \le x)=\limes_{n\rightarrow 0} \integral_{n}^{x} \lambda exp(-\lambda[/mm] t)dt, da ja x>0 ist

Ja, nur warum bildest du hier überhaupt den Grenzwert?
Beachte, es gilt:

$f(x) = [mm] \lambda*e^{-\lambda*x}*1_{(0,\infty)}$ [/mm] und damit [mm] $\integral_{-\infty}^\infty [/mm] f(x) dx = [mm] \integral_0^\infty [/mm] f(x) dx$ ganz ohne Grenzwert.

>  und daraus hab ich dann
>  [mm]F_1(x)=-exp(-\lambda[/mm] x)+1

[ok]
  

> als erstes war ich unsicher wegen der +1 aber wenn man
> bedenkt, dass eine verteilungsfunktion für werte gegen
> unendlich gegen 1 geht und für welche gegen minus
> unendlich (in diesem fall gegen null) gegen null sollte das
> doch passen oder?

Ja, aber die +1 fällt doch auch aus dem Integral raus, ganz ohne logische Überlegungen.
Wäre dem nicht so, wäre was falsch :-)

Zu dem Aufgabenteil fehlt noch was. Wo ist [mm] $E[X_1]$ [/mm] ?

>  ich hab im Skript folgende formel (ich glaube dass ist die
> faltungsformel) gefunden:
>  für Z=X+Y mit der Verteilungsfunktion F und G gilt:
>  [mm]H(\lambda)=[/mm] P(x+y [mm]\le \lambda)=\integral F(\lambda-\nu)dG(\nu)[/mm]
> mit der Dichte (wenn f und g dichten von F und G sind)
>  [mm]h(\lambda)\integral f(\lambda[/mm] - [mm]\nu)g(\nu)d\nu[/mm]
>  
> mit der Formel hab ich jetzt
> [mm]h(x)=\limes_{n \rightarrow 0} \integral_{n}^{x} f_{X_1}(x-\nu)f_{X_2}(\nu)d\nu =\lambda^2exp(-\lambda[/mm]
> x)x berechnet
>  und dann
>  [mm]H(x)=\limes_{n\rightarrow 0}\integral_{n}^{x} \lambda^2 exp(-\lambda[/mm]
> t)dt= [mm]-exp(\lambda[/mm] x)( [mm]\lambda[/mm] x +1)+1
>  
> kann ich jetzt daraus folgern, dass die summe zweier
> exponential verteilter zufallsvariablen nich
> exponentialverteilt sein muss? nur wegen dem linearen teil?

Na kannst du das auf die Form einer Exponentialverteilung bringen? Wenn nicht, ist es wohl nicht exponentialverteilt ;-)

Es geht übrigens auch anders, nicht über die Faltungsformel: Berechne doch direkt mal die Verteilung, also:

[mm] $P(X_1 [/mm] + [mm] X_2 \le [/mm] c)$ mithilfe der gemeinsamen Dichtefunktion von [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2. [/mm] Die sieht wie aus?

  

> (iii) ich versteh nicht so ganz was, P(X [mm]\ge[/mm] m+n | X [mm]\ge[/mm] n)
> bedeutet, zumindest dieses "| X [mm]\ge[/mm] n " soll das eine
> eingeschränkte wahrscheinlichkeit ... bzw. halt
> verteilungsfunktion sein?

Das ist einfach eine [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit]bedingte Wahrscheinlichkeit[/u]. Die Formel bzw Definition dafür, solltest du kennen. Wie sieht die aus?
Schreibe das dann nach der Formel um und vereinfache, Verteilungsfunktion anwenden, Potenzgesetze anwenden, fertig.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert und Faltung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Fr 18.05.2012
Autor: Katze_91

Hallo ^^ danke für deine antwort

(i) ja das [mm] E[X_1] [/mm] hab ich gestern noch vergessen aber da habe ich folgende formel gefunden im skript (bzw. definition)
[mm] E(x)=\integral_{\IR} \lambda dF(\lambda) [/mm]
und dann habe ich
E(x)= [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] rausbekommen, ich hab auch im internet eine andere formel gefunden mit [mm] \integral [/mm] (1-F(x))dx oder so, aber die hatten wir in der Vorlesung noch nicht

ich dachte ich müsse den grenzwert betrachten, weil x ja nur größer null ist und nie gleich...

(ii) ich weiß ehrlich gesagt nicht wie die gemeinsame dichte aussehen würde, intuitiv würde ich die dichten nur addieren

(iii)
achso, also die Formel für die bedingte wahrscheinlichkeit ist (für P(B) ungleich 0)
[mm] P(A|B)=\bruch{P(A\cap B)}{P(B)} [/mm]
also in dem Fall
P(X [mm] \ge [/mm] m+n | X [mm] \ge n)=\bruch{P(X\ge m+n \cap X\ge n)}{P(X \ge n)}=\bruch{P(X \ge m+n)}{P(X\ge n)}, [/mm] da wenn X [mm] \ge [/mm] m+n gilt, dass dann folgt [mm] X\ge [/mm] X-m [mm] \ge [/mm] m+n-m=n

so jetzt hab ich nochmal ein problem, da steht ja, man braucht eine exponentialverteilung also (a,b,c [mm] \in \IR [/mm] , mit einschränkungen halt, dass daraus ne verteilungsfunktion wird)
P(X [mm] \ge [/mm] m+n)=F(m+n)=a*exp(b(m+n))+c
P(x [mm] \ge [/mm] n)= F(n)= a*exp(b(n)) +c
also dann ja
[mm] \bruch{a*exp(b(m+n))+c}{a*exp(b(n)) +c} [/mm]
mich stört da jetzt das c... ist das falsch, oder seh ich nicht wie man das genau vereinfacht :( ?

LG Katze


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Erwartungswert und Faltung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Fr 18.05.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  [mm]E(x)=\integral_{\IR} \lambda dF(\lambda)[/mm]
> und dann habe ich
> E(x)= [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm] rausbekommen

[ok]


> ich dachte ich müsse den grenzwert betrachten, weil x ja
> nur größer null ist und nie gleich...

Na wie man das beheben kann, hab ich dir ja gezeigt :-)
Dann hast du eine Dichte, die auf ganz [mm] \IR [/mm] gilt.

> (ii) ich weiß ehrlich gesagt nicht wie die gemeinsame
> dichte aussehen würde, intuitiv würde ich die dichten nur
> addieren

Oh,oh,oh. Nacharbeiten!
Die Dichte zweier unabhängigen Zufallsvariablen ist [setze ein] der Einzeldichten.
Tipp: Die Summe ist es nicht.

>  also in dem Fall
>  P(X [mm]\ge[/mm] m+n | X [mm]\ge n)=\bruch{P(X\ge m+n \cap X\ge n)}{P(X \ge n)}=\bruch{P(X \ge m+n)}{P(X\ge n)},[/mm]

[ok]

> so jetzt hab ich nochmal ein problem, da steht ja, man
> braucht eine exponentialverteilung also (a,b,c [mm]\in \IR[/mm] ,
> mit einschränkungen halt, dass daraus ne
> verteilungsfunktion wird)
>  P(X [mm]\ge[/mm] m+n)=F(m+n)=a*exp(b(m+n))+c

[notok]
Wie sieht die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung aus? Dort gibt es nur einen Parameter, nicht drei!


MFG,
Gono.

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Bezug
Erwartungswert und Faltung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:30 Fr 18.05.2012
Autor: Katze_91

hm, also das mit der dichte verstehe ich nicht so ganz, wir hatten da nicht viel, nur, dass wenn ich zwei unabhängigen zufallsvariablen x und y habe, dass die dichte von der verteilung x+y dann durch
[mm] h(\lambda)=\integral f(\lambda- \nu)g(\nu)d\nu [/mm] berechenbar ist, aber das hab ich doch getan...

nur ein parameter... ist dann meine (i) mit dem plus eins doch falsch gewesen, bzw. ist das doch keine exponentialverteilung, muss ich dann die Vermutung, dass die Summe zweier exponential verteilter Zufallsvariablen nicht exponentialverteilt
ist anders begründen ? bin gerade leicht verwirrt :(

[mm] \bruch{P(X \ge m+n)}{P(X\ge m)}= \bruch{exp(a(m+n))}{exp(a(n))}=exp(am)= [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] m) für [mm] a\in \IR_{>0} [/mm]

Bezug
                                        
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Erwartungswert und Faltung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 So 20.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
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Erwartungswert und Faltung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:16 Sa 19.05.2012
Autor: Katze_91

Da ich mich gerade selbst verwirre stell ich hier meine Fragen nochmal zusammen:

1. Was ist eine exponentialverteilte Zufallsvariable?
    
    Ist, dass eine Zufallsvariable, wo die Dichtefunktion die Form hat a*exp(-ax)?

2. Die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung Zufallsvariablen benötigt doch noch die konstante plus 1, oder?

   [mm] F(x)=P(x_1 [/mm] < x)= 1-exp(-a*x)

Wie komme ich jetzt also bei der (iii) weiter wenn ich jetzt die Verteilungsfunktion habe? ich brauche da doch die Konstante Plus eins noch, oder?

3. ist Exponentialverteilung und exponential verteilt dasselbe?

Vielleicht erscheinen die Fragen ein bisschen blöd, aber es steht wirklich nichts brauchbares in meinem Skript und das Internet hilft mir gerade nicht weiter

LG Katze

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert und Faltung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mo 21.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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