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Erwartungswert transf. ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Sa 31.08.2019
Autor: Boogie2015

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo, an alle. Ich lerne momentan für die kommende Klausur in Stochastik und bei einer Sache bin ich mir nicht sicher. Und zwar wie man den Erwartungswert transformierter Zufallsvariablen berechnet.


Unsere Definition dazu im Skript lautet:



Sei $X: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ eine Zufallsvariable, $g: \overline{\mathbb{R}} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ Borel-messbar und $Y:= g \circ Y$.


Dann ist E[Y] = \begin{cases}
\sum\limits_{k \in X[\Omega]} g(k) \mathbb{P}[X = k]\; & \;\text{falls}\; X\; \text{diskret ist} \\
\int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) dx \;  & \;\text{falls}\; X\; \text{die Dichte}\; f\; \text{hat}

\end{cases}$



Ich verstehe aber nicht genau, wie diese Definition anzuwenden ist.

Ich wollte diese Definition anhand folgender Beispiele mal  anwenden:



1. Beispiel
_________

$X: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ diskret mit $X \sim Bin(n,p)$, $g: \overline{\mathbb{R}} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, x \mapsto x^{t}$ und $Y := g \circ X$

Dann gilt:


$E[Y]  = \sum\limits_{k \in X[\Omega]} g(k) \mathbb{P}[X = k] = \sum\limits_{k \in X[\Omega]} k^{t} \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p})^{n - k}$

Meine Frage an dieser Stelle ist: Wie kann ich das vereinfachen, so dass ich wieder einen ähnlichen Ausdruck wie $n \cdot p$ habe? Also ohne den ganzen Term jetzt vereinfachen zu müssen?


2. Beispiel
_________

$X: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ stetig mit $X \sim Expo(\lambda)$, $g: \overline{\mathbb{R}} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, x \mapsto x^{t}$ und $Y := g \circ X$


$E[Y]  = \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) dx = \int_{\mathbb{R}} x^{k} \cdot  \lambda e^{- \lambda x}dx$



Passt das 2. Beispiel? Ich meine, wie man das Integral dann berechnet, ist klar. Mir ist nur die Anwendung der Definition  wichtig.





Lg, Boogie


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Erwartungswert transf. ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Sa 31.08.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1. Beispiel
>  _________
>  
> [mm]X: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}[/mm] diskret mit [mm]X \sim Bin(n,p)[/mm],
> [mm]g: \overline{\mathbb{R}} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, x \mapsto x^{t}[/mm]
> und [mm]Y := g \circ X[/mm]
>  
> Dann gilt:
>  
>
> [mm]E[Y] = \sum\limits_{k \in X[\Omega]} g(k) \mathbb{P}[X = k] = \sum\limits_{k \in X[\Omega]} k^{t} \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p})^{n - k}[/mm]

[ok]
  

> Meine Frage an dieser Stelle ist: Wie kann ich das
> vereinfachen, so dass ich wieder einen ähnlichen Ausdruck
> wie [mm]n \cdot p[/mm] habe? Also ohne den ganzen Term jetzt
> vereinfachen zu müssen?

Gar nicht. Für allgemeines [mm] $t\in\IR$ [/mm] ist das nicht mal eben so zu vereinfachen.


> 2. Beispiel
>  _________
>  
> [mm]X: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}[/mm] stetig mit [mm]X \sim Expo(\lambda)[/mm],
> [mm]g: \overline{\mathbb{R}} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, x \mapsto x^{t}[/mm]
> und [mm]Y := g \circ X[/mm]
>  
>
> [mm]E[Y] = \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) dx = \int_{\mathbb{R}} x^{k} \cdot \lambda e^{- \lambda x}dx[/mm]

Bis auf die Tatsache, dass es    [mm] \int_{\mathbb{R}} x^{t} \cdot \lambda e^{- \lambda x}dx[/mm] [/mm] sein müsste, stimmt das.

> Passt das 2. Beispiel? Ich meine, wie man das Integral dann berechnet, ist klar.

Ist es das? ;-) Auch hier: Für allgemeines [mm] $t\in\IR$ [/mm] existiert kein geschlossener Ausdruck. Für [mm] $t\in\IN$ [/mm] schon.

Aber ansonsten stimmt es.

Lapidar ausgedrückt: Ersetze jeweils den ersten Faktor im Ausdruck durch den Funktionsausdruck… der Rest bleibt, wie er ist.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert transf. ZV: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Di 03.09.2019
Autor: Boogie2015

Okay, vielen Dank für deine Hilfe :-) Die Frage war vielleicht etwas unnötig, aber ich wollte sicher gehen. Ich wünsche dir sonst noch einen schönen Tag!

Bezug
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