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Hallo zusammen,
ich möchte gerne Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten ZV [mm]X\sim B_{n,p}[/mm] berechnen, und zwar ohne auf den eleganten Trick, [mm]X[/mm] als Faltung von [mm]n[/mm] unabh. [mm]B_{1,p}[/mm]-verteilten ZVen aufzufassen, zurückzugreifen.
Ich möchte das "zu Fuß" und ganz unelegant machen.
Beim Erwartungswert geht das ganz gut:
[mm]\operatorname{E}[X]=\sum\limits_{k=0}^{n}k\cdot{}\vektor{n\\
k}\cdot{}p^k\cdot{}(1-p)^{n-k}=\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot{}\vektor{n\\
k}\cdot{}p^k\cdot{}(1-p)^{n-k}=np\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n}\vektor{n-1\\
k-1}\cdot{}p^{k-1}\cdot{}(1-p)^{n-k}[/mm]
[mm]=np\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1\\
k}\cdot{}p^k\cdot{}(1-p)^{n-1-k}=np\cdot{}(p+(1-p))^{n-1}=np[/mm]
Bei der Varianz habe ich versucht, genauso heranzugehen, kann aber nur ein [mm]k[/mm] kürzen und weiß nicht weiter ...
[mm]\operatorname{Var}[X]=\operatorname{E}\left[X^2\right]-\operatorname{E}[X]^2=-(np)^2+\sum\limits_{k=0}^nk^2\cdot{}\vektor{n\\
k}\cdot{}p^k\cdot{}(1-p)^{n-k}=-(np)^2+\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot{}\vektor{n\\
k}\cdot{}p^k\cdot{}(1-p)^{n-k}[/mm]
[mm]=-(np)^2+np\cdot{}\sum\limits_{k=1}^n\red{k}\cdot{}\vektor{n-1\\
k-1}\cdot{}p^{k-1}\cdot{}(1-p)^{n-k}[/mm]
Letztere Summe bekomme ich nicht aufgedröselt.
Muss ich anders ansetzen? Wenn ja, wie? Oder wie zerhackstückelt man die Summe da am Ende weiter?
Liebe Grüße
schachuzipus
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Hallo,
hat sich erledigt, ich kann einfach [mm]k=(k-1+1)[/mm] schreiben und bekomme [mm]\sum (k-1)\cdot{}\ldots \ + \ \sum 1\cdot{}\ldots[/mm].
Gruß
schachuzipus
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