Erwartungswert Potenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:12 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Sei X eine Zufallsvariable. Wie berechnet sich [mm] E(|X|^k)? [/mm] |
Hallo,
wir befinden uns im diskreten Fall. So richtig weiter haben mich meine Recherchen bisher nicht gebracht. Ich stehe vor folgendem Ergebnis:
1) [mm] E(|X|^k)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{k}P(|X|^k=n^k)
[/mm]
oder gilt eher das:
2) [mm] E(|X|^k)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{k}P(|X|=n).
[/mm]
Das ist keine Übungsaufgabe oder sowas, sondern nur eine Frage, die ich mich selbst gestellt habe, weil meine Aufzeichnungen an einer Stelle etwas schwammig waren und ich im Netz nichts zu diesem Thema gefunden habe.
Wenn ich die Varianz berechnet habe und den Verschiebungssatz benutzt habe, habe ich immer [mm] E(|X|^2)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}P(|X|=n) [/mm] berechnet, deshalb tendiere ich auch eher zu (2).
Was ist nun richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:44 Sa 13.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei X eine Zufallsvariable. Wie berechnet sich [mm]E(|X|^k)?[/mm]
>
> wir befinden uns im diskreten Fall. So richtig weiter haben
> mich meine Recherchen bisher nicht gebracht. Ich stehe vor
> folgendem Ergebnis:
> 1) [mm]E(|X|^k)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{k}P(|X|^k=n^k)[/mm]
> oder gilt eher das:
> 2) [mm]E(|X|^k)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{k}P(|X|=n).[/mm]
Es gilt [mm] $|X|^k [/mm] = [mm] n^k$ [/mm] genau dann, wen $|X| = n$ gilt (da $k [mm] \ge [/mm] 1$ und $|X|, n [mm] \ge [/mm] 0$).
Damit ist beides richtig.
Meistens nimmt man aber eher 2), weil man die Verteilung von $|X|$ gegeben hat und nicht die von [mm] $|X|^k$.
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:25 Sa 13.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei X eine Zufallsvariable. Wie berechnet sich [mm]E(|X|^k)?[/mm]
Diskrete ZV müssen ja nicht nur über die natürlichen Zahlen sein. I.A. berechnet sich der Erwartngswert für dein Beispiel zu [m]E(|X|^k)=\sum_{n\ge 0} n*P(|X|^k=n)[/m], oder für ein abzählbare Menge C (im Falle der absoluten Konvergenz) [m]\sum_{c\in C} c*P(|X|^k=c)[/m].
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:49 Sa 13.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > Sei X eine Zufallsvariable. Wie berechnet sich [mm]E(|X|^k)?[/mm]
>
> Diskrete ZV müssen ja nicht nur über die natürlichen
> Zahlen sein. I.A. berechnet sich der Erwartngswert für
> dein Beispiel zu [m]E(|X|^k)=\sum_{n\ge 0} n*P(|X|^k=n)[/m], oder
> für ein abzählbare Menge C (im Falle der absoluten
> Konvergenz) [m]\sum_{c\in C} c*P(|X|^k=c)[/m].
schreiben tut man das trotzdem meistens eher als [mm] $\sum_{n \ge 0} n^k [/mm] P(|X| = n)$ bzw. [mm] $\sum_{c \in C} c^k [/mm] P(|X| = c)$, da man eine Formel fuer $P(|X| = c)$ hat, aber nicht (direkt) fuer [mm] $P(|X|^k [/mm] = c)$.
LG Felix
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