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Forum "Uni-Stochastik" - Erwartungswert Pkt. auf Stab
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Erwartungswert Pkt. auf Stab: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 Fr 27.04.2012
Autor: chesn

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Auf einem Stab der Länge 1 Meter werden rein zufällig und unabhängig zwei Punkte $ X,Y $ gewählt.

1. Berechnen Sie den Erwartungswert der Länge des Teilstückes vom linken Stabenede bis zum ersten der beiden Punkte.

2. Wenn man den Stab an den Stellen $ X,Y $ zerbricht, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich aus den Stücken ein Dreieck bilden lässt?

Hallo! Bräuchte etwas Hilfe hierbei..

Wenn X ein Punkt auf dem Stab ist, dann gilt für Y=g(x)=max(x,1-x) also

$g(x)=\{^{ \ 1-x \ \ falls \ \ \ 0<x<0,5}_{ \ x \ \ \ \ \ \ falls \ \ \ 0,5<x<1}$

Nach []Wikipedia ist der Erwartungswert von X:

[mm] E(X)=\bruch{1}{2} [/mm] und mit Y=g(x) der Erwartungswert von Y []Wikipedia:

[mm] E(Y)=\integral^{1}_{0}{g(x)f(x) \ dx}=\integral_{0}^{0,5}{(1-x) \ dx}+\integral_{0,5}^{1}{x \ dx}=\bruch{3}{4} [/mm]

So jetzt habe ich zwei Erwartungswerte, aber welcher Punkt ist denn nun der erste von links, der in der Aufgabenstellung gesucht ist?
Wegen E(X)<E(Y) würde ich sagen, wenn links die 0 ist, dann ist X der erste der beiden Punkte, oder??

Danke für jede Hilfe!!

Lieben Gruß
chesn



        
Bezug
Erwartungswert Pkt. auf Stab: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 So 29.04.2012
Autor: Gonozal_IX

Hallo chesn,

deine Herangehensweise ist meiner Meinung nach nicht wirklich Zielführend :-)

Die Linke Bruchstelle entspricht doch gerade dem Minimum von X und Y.
D.h. berechne einfach den Erwartungswert von [mm] $\min(X,Y)$. [/mm]

Bei der zweiten Aufgabe wirst du dir mal überlegen müssen, welche Eigenschaften die Seitenlängen erfüllen müssen, damit du ein Dreieck bauen kannst (Tip: Dreiecksungleichungen!).
Daraus lassen sich dann Eigenschaften an das [mm] \min [/mm] bzw [mm] \max [/mm] stellen, die man berechnen kann.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert Pkt. auf Stab: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Do 25.04.2013
Autor: triad

hallo,

wie genau berechnet man hierbei den Erwartungswert von [mm]\min(X,Y)[/mm]? Es ist ja keine Dichte und auch sonst kaum etwas gegeben.

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert Pkt. auf Stab: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Do 25.04.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> hallo,
>  
> wie genau berechnet man hierbei den Erwartungswert von
> [mm]\min(X,Y)[/mm]? Es ist ja keine Dichte und auch sonst kaum etwas
> gegeben.


Hallo triad,

du greifst da eine Aufgabe wieder auf, welche seit
ziemlich genau einem Jahr liegen geblieben ist.

So wie ich die

Aufgabe
Auf einem Stab der Länge 1 Meter werden rein zufällig und unabhängig zwei Punkte $ X,Y $ gewählt.

1. Berechnen Sie den Erwartungswert der Länge des Teilstückes vom linken Stabenede bis zum ersten der beiden Punkte.

2. Wenn man den Stab an den Stellen $ X,Y $ zerbricht, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich aus den Stücken ein Dreieck bilden lässt?



verstehe, soll man wohl davon ausgehen, dass jede
der beiden Bruchstellen durch eine Gleichverteilung
über die ganze Länge des ursprünglichen Stabs
hinweg beschrieben werden soll, und zwar unab-
hängig voneinander.
Damit sollte es möglich sein, auch die Verteilung
von  M:=min(X,Y) darzustellen und dann den Erwartungs-
wert von M zu berechnen.

Kleiner Tipp für eine mögliche Herangehensweise:
betrachte die zufällig gewählten Werte x und y der
beiden Zufallsvariablen als Koordinaten eines Punktes P
in der x-y-Ebene. Wegen der Unabhängigkeit darf
man dann annehmen, dass der Punkt P einer
Gleichverteilung über das Einheitsquadrat in dieser
Ebene unterliegt. Zur Veranschaulichung kannst du
dir z.B. vorstellen , es werden Regentropfen beobachtet,
welche auf ein quadratisches Stück Blech von 1m [mm] \times [/mm] 1m fallen.
min(x,y) ist dann für jeden einzelnen Regentropfen
der kleinere der beiden Koordinatenwerte x, y .

LG ,   Al-Chwarizmi  


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