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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erwartungswert Binomialvert.
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Erwartungswert Binomialvert.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Do 07.06.2012
Autor: Infty

Hi!

Ich habe einen Beweis für den Erwartungswert der Binomialverteilung vorliegen den ich überhaupt nicht verstehe.


[mm] E(X)&=\sum_{k=0}^{n} [/mm] k [mm] \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)}\\ [/mm]
    [mm] &=\lim_{q\rightarrow (1-p)} \sum_{k=0}^{n}k \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}\\ [/mm]
    [mm] &=\lim_{q\rightarrow (1-p)} \sum_{k=0}^{n}p \frac{\partial}{\partial p} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}\\ [/mm]
[mm] &=\lim_{q\rightarrow (1-p)} [/mm] p [mm] \frac{\partial}{\partial p} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}\\ [/mm]
[mm] &=\lim_{q\rightarrow (1-p)} [/mm] p [mm] \frac{\partial}{\partial p} (p+q)^n\\ [/mm]
$=pn$

Wie gilt [mm] K=p\frac{\partial}{\partial p}? [/mm]

Und wieso ist [mm] \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}=(p+q)^n [/mm]


Schonmal vielen Dank für eure Hilfe!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Erwartungswert Binomialvert.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Do 07.06.2012
Autor: luis52


> Und wieso ist [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}=(p+q)^n[/mm]
>  

Moin, hier steht bestimmt

[mm]\sum_{k=0}^{\red{n}} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}=(p+q)^n[/mm]

vg Luis


Bezug
                
Bezug
Erwartungswert Binomialvert.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Do 07.06.2012
Autor: Infty

ok. danke. Ist wohl ein Fehler in der Lösung hier...

Bezug
        
Bezug
Erwartungswert Binomialvert.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Do 07.06.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wie gilt [mm]K=p\frac{\partial}{\partial p}?[/mm]

Das macht so keinen Sinn. Links steht ne Zahl, rechts nen Operator.
Aber was gilt, ist:

[mm] $k*p^k [/mm] = [mm] p*k*p^{k-1} [/mm] = [mm] p*\left(k*p^{k-1}\right)$ [/mm]

Und wenn du nun [mm] $k*p^{k-1}$ [/mm] scharf anschaust, erkennst du das als Ableitung von [mm] $p^k$ [/mm] nach p, d.h.: [mm] $k*p^{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dp} p^{k}$ [/mm]
Und damit:

[mm] $k*p^k [/mm] = p* [mm] \bruch{d}{dp} p^{k}$ [/mm]

> Und wieso ist [mm]\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}=(p+q)^n[/mm]

Das folgt sofort aus der Anwendung des []Binomischen Lehrsatzes.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert Binomialvert.: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 Fr 08.06.2012
Autor: Infty

Super vielen Dank! Jetzt ist einiges klar.

Ich hätte allerdings noch eine Frage:
Wieso ist es nötig den Limes zu bilden? Würde es nicht auch eine einfache Ersetzung tun?

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert Binomialvert.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Fr 08.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo [mm]\inf[/mm],


> Super vielen Dank! Jetzt ist einiges klar.
>  
> Ich hätte allerdings noch eine Frage:
>  Wieso ist es nötig den Limes zu bilden? Würde es nicht
> auch eine einfache Ersetzung tun?

Ja, du kannst direkt mit dem Umformen loslegen, das mit dem Limes braucht man nicht ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert Binomialvert.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Fr 08.06.2012
Autor: Teufel

Hi!

Wenn du die Umformungen ungefähr so machen willst, wie angegeben, kannst du nicht einfach q=1-p setzen, weil es dann beim Ableiten zu Probleme kommen würde, d.h. du könntest nicht mehr einfach so die partielle Ableitung nach p ins Spiel bringen.

Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert Binomialvert.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Fr 08.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Hi!
>  
> Wenn du die Umformungen ungefähr so machen willst, wie
> angegeben, kannst du nicht einfach q=1-p setzen, weil es
> dann beim Ableiten zu Probleme kommen würde, d.h. du
> könntest nicht mehr einfach so die partielle Ableitung
> nach p ins Spiel bringen.

Man kann das ganz elementar ohne Ableitungsgedöhns umformen.

Man kann k gegen das k in [mm] $\vektor{n\\k}$ [/mm] kürzen, dann np rausziehen aus der Summe, dann bissl Indexverschiebung und man hat mit dem binom. Lehrsatz in der Summe [mm] $(p+(1-p))^{n-1}=1$ [/mm]

Gruß

schachuzipus


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