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| Aufgabe | Sei [mm]x[/mm] eine Zufallsvariable mit Werten in [mm]\IN[/mm] und [mm]E(x)[/mm] der Erwartungswert von [mm]x[/mm].
Dann gilt für jedes [mm]k>0[/mm]:
[mm]\IP\left(x \ > \ k\cdot{}E(x)\right) \ < \ \frac{1}{k}[/mm] |
Hallo zusammen,
im Zuge der Vorbereitung auf eine Prüfung in Theoret. Informatik bin ich im Kapitel "Probabilistische Algorithmen" im Skript über obige wahrscheinlichkeitstheoretische Aussage bzw. deren Beweis gestolpert.
Beweis:
Sei [mm]p_i[/mm] die Wsk., dass [mm]x=i[/mm]
Ist [mm]\sum\limits_{i>kE(x)}p_i=0[/mm], so folgt die Aussage unmittelbar, anderenfalls gilt:
[mm]E(x) \ = \ \sum\limits_{i}ip_i \ = \ \sum\limits_{i\le kE(x)}ip_i \ + \ \sum\limits_{i>kE(x)}ip_i[/mm]
[mm]\red > \ k\cdot{}E(x)\sum\limits_{i>kE(x)}p_i[/mm]
[mm]\red > \ k\cdot{}E(x)\cdot{}\IP\left(x \ > \ k\cdot{}E(x)\right) \ \ \Box[/mm]
Soweit der Wortlaut des Beweises.
Es wäre schön, wenn mit jemand die roten Abschätzungen erklären könnte.
Ich bin entweder zu dumm oder total betriebsblind.
Besten Dank vorab!
Liebe Grüße
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Di 05.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
das erste >-Zeichen :
die erste Summe (positiv) wird weggelassen, in der zweiten wird der Faktor i in jedem Summanden durch k*E(x) abgeschätzt und vor die Summe gezogen.
das zweite >-Zeichen :
sollte ein =-Zeichen sein.
Gruß Sax.
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Hallo Sax,
> Hi,
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> das erste >-Zeichen :
> die erste Summe (positiv) wird weggelassen, in der zweiten
> wird der Faktor i in jedem Summanden durch k*E(x)
> abgeschätzt und vor die Summe gezogen.
Ja, jetzt, wo du es sagst ...
Peinlich, peinlich ...
Ich Blindfisch 
Ich danke dir für den Augenöffner!
>
> das zweite >-Zeichen :
> sollte ein =-Zeichen sein.
Jo, das Skript ist voll von kleineren bis mittelschweren Fehlern ...
>
> Gruß Sax.
Nochmal danke!
LG
schachuzipus
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