Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Gegeben ist diese Dichtefunktion:
[mm] $f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & \mbox{für } 1, < x \leq 2 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] |
Für den Erwartungswert benötige ich ja erst mal die Wahrscheinlichkeit. Um die Wahrscheinlichkeit zu bekommen, muss ich die zwei gegebenen Dichtefunktionen integrieren und berechnen.
Ich komm dabei auf:
$P(x [mm] \in \[0,1\] [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{x dx} [/mm] = ... = [mm] \frac12$
[/mm]
und
$P(x [mm] \in \[ [/mm] 1,2 [mm] \] [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{x dx} [/mm] = ... = [mm] \frac12$
[/mm]
Stimmt das soweit? Wenn ja, wie sieht das dann mit dem Erwartungswert aus? Wie berechne ich den? Muss ich die zwei Teilwahrscheinnlichkeiten aufaddieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Hallo, den Erwartungswert berechnet man bei bekannter Dichtefunktion als
[mm] $\mathbb{E}(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)\, [/mm] dx$
Daher verstehe ich nicht, wieso Du erst irgendwelche Wahrscheinlichkeiten berechnest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Oh, dankeschön. Das habe ich noch nicht gewusst... Hab ich aber nun auch auf Wikipedia gelesen. Welche Grenzen muss ich hier dann einsetzen? Ich kann ja schlecht unendlich und -unendlich als Grenzen für das Integral nehmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Du kannst es ja mal ausrechnen und dann gerne hier posten. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Muss ich für die zwei Abschnitte jeweils einen voneinander getrennten Erwartungswert berechnen? Wahrscheinlich schon, ode?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Nein, es handelt sich nicht um zwei verschiedene Erwartungswerte, sondern um einen Erwartungswert; nur nimmt die Dichte über $[0,1]$ halt eine andere Form an als über $(1,2]$.
Das Integrieren von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $\infty$ [/mm] reduziert sich hier also auf Integrieren von 0 bis 2, denn ansonsten ist die Dichte ja 0.
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)\, dx=\int\limits_{0}^{2}xf(x)\, [/mm] dx$
Und das kann man jetzt nochmal auftrennen und jeweils die passende Form der Dichte zum Ausrechnen verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Also sieht das dann so aus:
$ E(x) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{0}^{2} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{0}^{1} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] x dx + [mm] \int_{1}^{2} x\cdot(2-x) [/mm] dx = ...$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
>
> [mm]E(x) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{2} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{1} x \cdot x dx + \int_{1}^{2} x\cdot(2-x) dx = ...[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Als Ergebnis bekomm ich da dann [mm] $\frac76$
[/mm]
Und jetzt soll ich noch die Varianz berechnen. Die Formel dazu lautet: [mm] $\operatorname{Var}(X)\ [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 [/mm] f(x) [mm] \, \mathrm{d}x, [/mm] $
mit $ [mm] \mu [/mm] = E(x)$
Wie geht das dann wieder mit den Grenzen? Kann man das dann hier auch wieder aufteilen? Aber ich bekomme ja nur einen Erwartungswert raus. Wenn ich aber dann wieder aufteile, brauch ich ja zwei Erwartungswerte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Also ich errechne [mm] $\mathbb{E}(X)=1$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ja, du hast Recht. Das Ergebnis E(x) = 1 kommt auch bei mir raus. Hast du mein Edit eine Antwort vorher gelesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Das berechnest Du hier genauso.
[mm] $\mu=1$
[/mm]
[mm] $\operatorname{Var}(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(x-1)^2f(x)\, dx=\int_{0}^{1}(x-1)^2x\, dx+\int\limits_{1}^{2}(x-1)^2(2-x)\, [/mm] dx$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke, nun ist alles klar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Sehr gerne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 23.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Das Ergebnis der Varianz ist übrigens -3. Zumindestens bei mir. stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:37 Do 24.05.2012 | | Autor: | mikexx |
> Das Ergebnis der Varianz ist übrigens -3.
Das kann nicht stimmen, denn die Varianz ist stets [mm] $\geq [/mm] 0$.
Ich berechne [mm] $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{6}$.
[/mm]
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