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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Mi 28.09.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebes Team!
Eine Aufgabe, die mich beschäftigt, ist folgende:
Sei [mm]X[/mm] eine Zufallsvariable, die ihre Werte in [mm]\left\{0,1,2,3,\hdots\right\}[/mm] hat.
Man zeige:
[mm]E(X)=\sum_{k\geq 1}P(X\geq k)[/mm]
(Es sind beide Seiten eventuell [mm]+\infty[/mm].) |
Wie beweist man das?
Mein Ansatz:
[mm]E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}x\cdot P(X=x)=\sum_{x\in\left\{0,1,2,3,\hdots\right\}}x\cdot P(X=x)=\sum_{x\in\left\{1,2,3,\hdots\right\}}x\cdot P(X=x)[/mm]
Doch so recht weiter komme ich an dieser Stelle nicht.
Wer kann mir bitte beim Beweis dieser Aussage weiterhelfen?
Ich freue mich über jede Hilfe.
mikexx
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo mikexx,
es sei p_k:=P(X=k)
Dann betrachte einfach einmal das Schema
$\pmat{p_1&p_2&p_3&p_4&p_5&p_6&...&...\\0&p_2&p_3&p_4&p_5&p_6&...&...\\0&0&p_3&p_4&p_5&p_6&...&...\\0&0&0&p_4&p_5&p_6&...&...\\0&0&0&0&p_5&p_6&...&...\\0&0&0&0&0&p_6&...&...\\...&...&...&...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...&...&...&...}}$
und summiere dessen gesamten Inhalt auf zwei verschiedene
Arten ! Das p_0 kannst du dann noch separat einbringen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 28.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich weiß nicht, ob Du das meinst, aber:
Ich schreibe die Summe erstmal aus, also
[mm]\sum_{x\in\left\{1,2,3,\hdots\right\}}x\cdot P(X=x)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=3)+P(X=3)+\hdots[/mm]
Dies kann man nun umsortieren und bekommt folgende Summanden:
[mm]P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+\hdots[/mm] (bis [mm]P(X=\infty)[/mm])
[mm]+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+\hdots[/mm] (bis [mm]P(X=\infty)[/mm])
und so weiter.
Diese Summanden sind ja aber (da X diskret ist und deswegen [mm]P(X\geq k)=P(k)+P(k+1)+P(k+2)+\hdots[/mm]) nichts Anderes als
[mm]P(X\geq 1)+P(X\geq 2)+\hdots =\sum_{k\geq 1}P(X\geq k)[/mm].
[mm] \Box
[/mm]
Dies wäre mein Beweis. Ist das okay?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 28.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
die Beweisidee ist korrekt. Hier wurde die Frage auch gestellt.
Gruß
barsch
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