Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen sie im Falle seiner Existenz
[mm] E[(\bruch{1}{1+X})]
[/mm]
wobei X eine
a) zum Parameter [mm] \lambda\ge0 [/mm] poisson-
b) zu den Parametern (n,p) binomial-
verteilte Zufallsvariable ist. |
Hallo zusammen,
ich bemüh mich jetzt schon den ganzen Nachmittag an dieser Aufgabe und ich hoffe, dass ihr mir weiter helfen könnt.
Ich poste mal, was ich mir zur a) überlegt habe.
Poissonverteilung:
[mm] P(X=k)=\bruch{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
[/mm]
[mm] P(\bruch{1}{1*X}=k)=P(X=\bruch{1-k}{k})=\bruch{\lambda^(\bruch{1-k}{k})}{(\bruch{1-k}{k})!}e^{-\lambda}
[/mm]
Und dann habe ich angesetzt:
[mm] E[X]=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1-k}{k}P(X=\bruch{1-k}{k})
[/mm]
und komme dann auf das Ergebnis:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\lambda^{\bruch{1-k}{k}
Passt das denn so?
Denn der Erwartungswert der "normalen" Poissonverteilung ist ja \lambda und dann würde es ja theoretisch passen.
Bin froh um jede Anregung!
Liebe Grüße und danke schonmal,
Steffi
}[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Steffi,
also ich würde sagen, dass du das ganze mit Hilfe des Transformationssatzes lösen solltest:
[mm] $E(g(X))=\sum_{k\in X(\Omega)}g(k)*P(X=k)$
[/mm]
d.h. also in dem ersten Fall:
[mm] $E(\frac{1}{1+X})=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1+k}*\frac{\lambda^k}{k!}*e^{-\lambda}
[/mm]
[mm] =\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}*\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}=\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}*\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}-\lambda-1\right)
[/mm]
[mm] =\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}*(e^{\lambda}-\lambda-1)
[/mm]
LG!
Fry
|
|
|
| |
|
Hallo Fry,
danke für deine Hilfe.
Hab jetzt genau das gleiche bei der b) versucht, aber ich glaub ich häng am Ende.
Also ich hab bis jetzt:
[mm] E[\bruch{1}{1+X}]=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{1+X}\vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k} [/mm]
= [mm] np\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{1+X}\bruch{(n-1)!}{(n-k-)!k!}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}
[/mm]
[mm] =np\summe_{k=0}^{n}\bruch{(n-1)!}{(n-k-1)!(k+1)!}p^{k-1}(1-p)^{((n-1)-(k-1))
= np\summe_{k=2}^{n}\bruch{(n-1)!}{(n-k+1)!(k-1)!}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}
= np\summe_{k=2}^{n}\vektor{n-1 \\ k-1}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}
= np\summe_{j=1}^{n-1}\vektor{n-1 \\ j}p^{j}(1-p)^{n-1-j}
= np\summe_{j=1}^{m}\vektor{m \\ j}p^{j}(1-p)^{m-j}
= np \summe_{j=0}^{m}\vektor{m \\ j+1}p^{j+1}(1-p)^{m-j-1}
So und jetzt dreh ich mich im Kreis.
Hab ich irgendeinen Fehler gemacht oder gibt es da mal wieder einen Trick den ich nicht kenne?
Wäre super, wenn du mir nochmal helfen würdest...
Danke schonmal,
Lg
}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hi du,
also hab mir mal die Mühe gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei dem ersten Teil der Aufgabe ist mir nen Fehler unterlaufen, die Poissonverteilung ist ne Verteilung auf [mm] \IN_0 [/mm] und nicht [mm] \IN. [/mm] Musst halt nochmal umschreiben.
upps..die Datei ist etwas groß...; )...einfach mal auf den Rechner kopieren.
Gruß
Fry
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Sa 28.11.2009 | | Autor: | stofffffel |
He super, ganz ganz vielen lieben dank für deine Hilfe!
Des bei der a) hab ich schon gemerkt und ausgebessert....
Danke nochmal und nen schönen abend noch
liebe grüße
steffi
|
|
|
|
