Erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:51 Mi 09.05.2018 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Ein Schnellimbiss bietet als Nachtisch einen Fruchtsalat an, der frisch zubereitet um 12 Uhr in Kartons mit je 8 Portionen geliefert wird. Portionen, die nicht verkauft werden können, werden am nächsten Tag noch zum halben Preis angeboten, aber spätestns bei Lieferung der neuen Ware entsorgt. Für eine Portion bezahlt der Betreiber des Schnellimbiss 1,30 Euro; der Verkaufspreis beträgt 2,90 Euro.
Eine Zeitlang werden vier Kartions mit 32 Portionen bestellt. Dabei wird folgender Umsatz registriert: An 10% der Tage werden 16 Portionen zum vollen Preis verkauft, an 20% der Tage 2ß Portionen, an 30% der Tage 24 Portionen, an 25% der Tage 28 Portionen und an 15% der Tage sogar alle 32 Portionen. Von den übrig gebliebenen Portionen kann in 50% der Fälle alles verkauft werden, in 30% der Tage die Hälfte, der Rest muss entsorgt werden.
Untersuchen Sie, bei welcher Bestellmenge der größte Gewinn zu erwarten ist. |
Guten Morgen zusammen, bei obiger Aufgabe brauche ich Eure Hilfe, wäre also lieb wenn ihr mich bei der Lösung unterstützen könntet.
Bis jetzt habe ich mir folgendes Überlegt:
Ich kann davon ausgehen, dass auf jeden Fall 16 Portionen, also genau 2 Kartons verkauft werden, somit habe ich hier einen Gewinn von 16x(2,90-1,30)=16x1,60=25,60
Nehme ich jetzt an, dass ich 3 Kartons einkaufe also 24 Portionen, dann werden mit einer W'keit von 10% 16 Portionen mit einer W'keit von 20% 20 Portionen und mit einer W'keit von 70% alle Portionen verkauft.
16x1,60x0,1-8x1,30x0,1+20x1,60x0,2-4x1,30x0,2+24x1,60x0,7=33,76
Nehme ich jetzt an, dass ich 3 Kartons einkaufe also 24 Portionen, dann werden mit einer W'keit von 10% 16 Portionen mit einer W'keit von 20% 20 Portionen und mit einer W'keit von 70% alle Portionen verkauft.
16x1,60x0,1-8x1,30x0,1+20x1,60x0,2-4x1,30x0,2+24x1,60x0,7=33,76
Nehme ich jetzt an, dass ich 4 Kartons einkaufe also 32 Portionen, dann werden mit einer W'keit von 10% 16 Portionen mit einer W'keit von 20% 20 Portionen, mit einer W'keit von 30% 24 Portionen, mit einer W'keit von15% 28 Portionen und mit einer W'keit von 15% alle Portionen verkauft.
16x1,60x0,1-16x1,30x0,1+20x1,60x0,2-12x1,30x0,2+24x1,60x0,3-8x1,30x0,3+28x1,60x0,25-4x1,30x0,25+32x1,60x0,15=29,74
Demnach sollten 3 Kartons bestellt werden, jedoch habe ich dir Ware die am Folgetag zum halben Preis angeboten wird nicht beachtet. Vielleicht könnt ihr mir helfen wie ich dies mit einbeziehen kann.
Über eine Rückmeldung freue ich mich sehr, vielen Dank schon mal im voraus.
Schobbi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 16.05.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 So 19.08.2018 | | Autor: | donp |
Zuerst sollte man wohl aus den Erfahrungswerten berechnen, wieviele Portionen im Schnitt zum vollen Preis abgesetzt wurden, dann von den übrigen Portionen, wie viele im Schnitt zum halben Preis abgesetzt wurden. Der Rest war unverkäuflich.
Zum vollen Preis abgesetzt wurden [mm] $v_i \,(i=1\dots5)$ [/mm] Portionen mit den Häufigkeiten [mm] $P(v_i)$. [/mm] Gegeben sind [mm] $$v_1=16\,,\; P(v_1) [/mm] = 0,1$$ $$ [mm] v_2=20\,,\;P(v_2) [/mm] = 0,2$$ [mm] $$v_3=24\,,\; P(v_3) [/mm] = 0,3$$ $$ [mm] v_4=28\,,\; P(v_4) [/mm] = 0,25$$ [mm] $$v_5=32\,,\; P(v_5) [/mm] = 0,15$$ Der  Erwartungswert [mm]v[/mm] für die durchschnittliche Anzahl vollpreisig absetzbarer Portionen ergibt sich dann zu [mm] $$v=\summe_{i=1}^{5}v_i*P(v_i) [/mm] = 1,6 + 4 + 7,2 + 7 + 4,8 = 24,6$$ Von den [mm]n=32[/mm] bestellten Portionen wurden im Schnitt am folgenden Tag noch [mm]f = n-v=7,4[/mm] Portionen zum halben Preis angeboten.
Davon wurden [mm] $f_i \,(i=1\dots3)$ [/mm] Portionen abgesetzt mit den Häufigkeiten [mm] $P(f_i)$. [/mm] Gegeben sind [mm] $$f_1=f=7,4\,,\; P(f_1) [/mm] = 0,5$$ $$ [mm] f_2=\bruch{f}2=3,7 \,,\;P(f_2) [/mm] = 0,3$$ [mm] $$f_3=0\,,\; P(f_3) [/mm] = [mm] 1-P(f_1)-P(f_2)=0,2$$ [/mm] Der Erwartungswert [mm]h[/mm] für die durchschnittliche Anzahl halbpreisig absetzbarer Portionen ergibt sich dann zu [mm] $$h=\summe_{i=1}^{3}f_i*P(f_i) [/mm] = 3,7 + 1,11 + 0 = 4,81$$ Die durchschnittliche Anzahl [mm]u[/mm] der unverkäuflichen Portionen ist damit $$u=n-v-h=32-24,6-4,81=2,59$$ Mit den gegebenen Verkaufspreisen [mm] $$P_u=0$$ $$P_v=2,90$$ $$P_h=\bruch{P_v}2=1,45$$ [/mm] und dem Einkaufspreis [mm]P_e=1,30[/mm] ergeben sich die entsprechenden Gewinne in Euro zu [mm] $$g_u [/mm] = [mm] 0-P_e=-1,30$$ $$g_v [/mm] = [mm] P_v-P_e=1,60$$ $$g_h [/mm] = [mm] P_h-P_e=0,15$$ [/mm] Die durchschnittliche Gewinnerwartung [mm]G[/mm] in Euro für n=32 bestellte Portionen ist dann [mm] $$G=u*g_u [/mm] + [mm] v*g_v +h*g_h [/mm] = -(2,59*1,30) + (24,6*1,60) + (4,81*0,15) = 36,71$$ Da die durchschnittliche Anzahl vollpreisig absetzbarer Portionen mit [mm]v = 24,6[/mm] nur knapp über 24 liegt und die Ware gemäß Aufgabenstellung in Kartons à 8 Portionen geliefert wird, ist es am günstigsten, jeweils 24 Portionen (3 Kartons) zu bestellen. Die durchschnittliche Gewinnerwartung in Euro beträgt dann $$24 * [mm] g_v [/mm] = 24*1,60 = 38,40$$ Das ist mehr als 36,71 Euro bei 32 bestellten Portionen. Weniger als 24 Portionen zu bestellen ist nicht sinnvoll, weil dann zwangsläufig weniger Portionen verkauft werden könnten als erfahrungsgemäß möglich wäre, womit die Gewinnerwartung wieder sinkt.
Gruß, Don
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