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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erwartungstreue und Konsistenz
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Erwartungstreue und Konsistenz: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 Di 02.06.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Definition:

"Eine Schätzfunktion T heißt erwartungstreu (oder unverzerrt ), wenn ihr Erwartungswert gleich dem zu schätzenden Parameter ist, das heißt

E(T) = [mm] \Theta. [/mm]

Eine Schätzfunktion heißt konsistent , wenn sie stochastisch gegen [mm] \Theta [/mm] konvergiert:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] P(|T - [mm] \Theta| [/mm] < [mm] \epsilon) [/mm] = 1 für beliebiges [mm] \epsilon [/mm] > 0.

Sie heißt konsistent im quadratischen Mittel , wenn die erwartete quadratische Abweichung im Grenzwert verschwindet:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] E((T - [mm] \Theta)^2) [/mm] = 0."

...

Satz:

"Ist eine Schätzfunktion konsistent im quadratischen Mittel, so ist sie auch konsistent."

"Das folgt aus der Ungleichung von Tschebyscheff."

Hallo,

würde gern mal wissen, ob ich das richtig verstehe:

Die Ungleichung von Tschebyscheff besagt ja;

P(|X - [mm] \mu| \ge [/mm] c) [mm] \le \bruch{\sigma^2}{c} [/mm]

Um jetzt hiermit von "Konsistenz im quadratischen Mittel" auf "Konsistenz" zu schließen, nehme ich an, dass T = X, [mm] \Theta [/mm] = [mm] \mu [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] = c gemeint ist, richtig?

Dann leuchtet mir ein, dass

P(|T - [mm] \Theta| [/mm] < [mm] \epsilon) [/mm] = 1 - P(|T - [mm] \Theta| \ge \epsilon) [/mm] = 1 - P(|X - [mm] \mu| \ge [/mm] c) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{\sigma^2}{c} [/mm] = 1.

Ist das so korrekt? Wenn ja, müsste es in der Definition statt

"Eine Schätzfunktion heißt konsistent , wenn sie stochastisch gegen [mm] \Theta [/mm] konvergiert"

nicht heißen

"Eine erwartungstreue Schätzfunktion heißt konsistent , wenn sie stochastisch gegen [mm] \Theta [/mm] konvergiert"

Wie sonst kann man [mm] \Theta [/mm] einfach mit [mm] \mu [/mm] = E(T) gleichsetzen?

Gruß und schonmal Danke fürs Feedback,

Martin



        
Bezug
Erwartungstreue und Konsistenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Mi 03.06.2020
Autor: luis52

Moin,
>  
> Satz:
>  
> "Ist eine Schätzfunktion konsistent im quadratischen
> Mittel, so ist sie auch konsistent."
>  
> "Das folgt aus der Ungleichung von Tschebyscheff."
>  Hallo,
>  
> würde gern mal wissen, ob ich das richtig verstehe:
>  
> Die Ungleichung von Tschebyscheff besagt ja;
>  
> P(|X - [mm]\mu| \ge[/mm] c) [mm]\le \bruch{\sigma^2}{c}[/mm]

Bitte etwas genauer: Die TU besagt:

$P(|X - [mm] \operatorname{E}[X]| \ge c)\le \bruch{ \operatorname{Var}[X]}{c}$ [/mm]



>  
> Um jetzt hiermit von "Konsistenz im quadratischen Mittel"
> auf "Konsistenz" zu schließen, nehme ich an, dass T = X,
> [mm]\Theta[/mm] = [mm]\mu[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] = c gemeint ist, richtig?

Falsch. Wieso unterstellst [mm] $\mu=\operatorname{E}[X]=\Theta$? [/mm] Das waere korrekt, wenn zu beweisen waere:

"Ist eine erwartungstreue Schätzfunktion konsistent im quadratischen Mittel, so ist sie auch konsistent."



>  
> Dann leuchtet mir ein, dass
>  
> P(|T - [mm]\Theta|[/mm] < [mm]\epsilon)[/mm] = 1 - P(|T - [mm]\Theta| \ge \epsilon)[/mm]
> = 1 - P(|X - [mm]\mu| \ge[/mm] c) [mm]\ge[/mm] 1 - [mm]\bruch{\sigma^2}{c}[/mm] = 1.
>  
> Ist das so korrekt?  

Nein. Wieso ist [mm] $1-\bruch{\sigma^2}{c} [/mm] = 1$?

Bezug
                
Bezug
Erwartungstreue und Konsistenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Mi 03.06.2020
Autor: sancho1980


> Bitte etwas genauer: Die TU besagt:
>  
> [mm]P(|X - \operatorname{E}[X]| \ge c)\le \bruch{ \operatorname{Var}[X]}{c}[/mm]

Störst du dich daran, dass ich nicht dazugeschrieben habe, was mit [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^2 [/mm] gemeint ist? Ansonsten erkenne ich keinen Unterschied ...

> Falsch. Wieso unterstellst [mm]\mu=\operatorname{E}[X]=\Theta[/mm]?
> Das waere korrekt, wenn zu beweisen waere:
>  
> "Ist eine erwartungstreue Schätzfunktion konsistent im
> quadratischen Mittel, so ist sie auch konsistent."

Das ist doch im Grund mein Punkt gewesen. Es geht mir darum, das aus meinem Buch Zitierte nachzuvollziehen. Ich habe geschrieben, wie es für mich Sinn macht und dass, vorausgesetzt, ich verstehe es richtig, die Formulierung m.E. nicht ganz korrekt wäre.
Wenn das falsch ist, was ich schreibe, wäre ich dir dankbar, wenn du mich aufklärst:

Wie folgt aus der TU, dass eine im quadratischen Mittel konsistente Schätzfunktion auch automatisch konsistent ist?

> Nein. Wieso ist [mm]1-\bruch{\sigma^2}{c} = 1[/mm]?

In meinem Buch steht außerdem:

"Wegen E((T - [mm] \Theta)^2) [/mm] = [mm] E(T^2) [/mm] - [mm] 2\ThetaE(T) [/mm] + [mm] \Theta^2 [/mm] = [mm] E(T^2) [/mm] - [mm] E(T)^2 [/mm] + (E(T) - [mm] \Theta)^2 [/mm] = Var(T) + (E(T) - [mm] \Theta)^2 [/mm]

bedeutet Konsistenz im quadratischen Mittel, dass sowohl die Varianz von T als auch die Abweichung E(T) - [mm] \Theta [/mm] für wachsenden Stichprobenumfang n verschwindet. Insbesondere ist eine erwartungstreue Schätzfunktion konsistent im quadratischen Mittel, wenn ihre Varianz für wachsenden Stichprobenumfang n verschwindet."

Daraus hatte ich gefolgert:

[mm] 1-\bruch{\sigma^2}{c} [/mm] = [mm] 1-\bruch{0}{c} [/mm] = 1

Danke und Gruß,

Martin

Bezug
                        
Bezug
Erwartungstreue und Konsistenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Mi 03.06.2020
Autor: luis52


> > Bitte etwas genauer: Die TU besagt:
>  >  
> > [mm]P(|X - \operatorname{E}[X]| \ge c)\le \bruch{ \operatorname{Var}[X]}{c}[/mm]
>  
> Störst du dich daran, dass ich nicht dazugeschrieben habe,
> was mit [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma^2[/mm] gemeint ist? Ansonsten erkenne ich
> keinen Unterschied ...

Genau. Im weiteren Verlauf deiner Argumentation setzt du naemlich [mm] $\mu=\operatorname{E}[T]=\Theta$. [/mm]

>  
> > Falsch. Wieso unterstellst [mm]\mu=\operatorname{E}[X]=\Theta[/mm]?
> > Das waere korrekt, wenn zu beweisen waere:
>  >  
> > "Ist eine erwartungstreue Schätzfunktion konsistent im
> > quadratischen Mittel, so ist sie auch konsistent."
>  
> Das ist doch im Grund mein Punkt gewesen.


Nein, das ist nicht der Punkt. Du argumentierst anscheinend fuer die Aussage:

Ist eine erwartungstreue Schätzfunktion konsistent im   quadratischen Mittel, so ist sie auch konsistent."

Die urspruengliche Aussage lautet aber:

Ist eine Schätzfunktion konsistent im   quadratischen Mittel, so ist sie auch konsistent."

Erwartungstreue von $T$ wird in dieser Formulierung nicht vorausgesetzt, also kannst du nicht [mm] $\operatorname{E}[T]=\Theta$ [/mm] annehmen. Wenn das so ist, dann kannst du zunaechst nicht mit der TU argumentieren.

Deswegen wiederhole ich meine Frage: Welche Aussage willst du nachvollziehen?


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Bezug
Erwartungstreue und Konsistenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Mi 03.06.2020
Autor: sancho1980


> Deswegen wiederhole ich meine Frage: Welche Aussage willst
> du nachvollziehen?

Ich will nachvollziehen, wie aus der TU folgt:

"Ist eine Schätzfunktion konsistent im quadratischen Mittel, so ist sie auch konsistent."


Bezug
                                        
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Erwartungstreue und Konsistenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Mi 03.06.2020
Autor: luis52

Moin, einen Beweis mit der TU kann ich nicht aus dem Aermel schuetteln. Vielleicht kommt man ueber die Dreiecksungleichung zum Ziel. Gelaeufig ist mir der Beweis mit der Markowschen Ungleichung. Sieh mal []hier, ab Theorem 3.1.

Bezug
                                                
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Erwartungstreue und Konsistenz: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 07:11 Do 04.06.2020
Autor: sancho1980

Hallo,
also wie gesagt steht in meinem Buch, dass das Eine aus dem Andern mit der TU folgt.
Dann werd ich jetzt wohl mal den Autoren anschreiben...

Bezug
                                                        
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Erwartungstreue und Konsistenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:32 Di 09.06.2020
Autor: sancho1980

Ich habe jetzt vom Autor die Antwort, dass das ein Fehler im Buch ist; dass er auf die Markov-Ungleichung hätte verweisen müssen.

Bezug
                                                                
Bezug
Erwartungstreue und Konsistenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:27 Do 11.06.2020
Autor: luis52


> Ich habe jetzt vom Autor die Antwort, dass das ein Fehler
> im Buch ist; dass er auf die Markov-Ungleichung hätte
> verweisen müssen.


Dann ist meine Welt ja wieder in Ordnung. ;-)



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