Erste Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 30.05.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | Finde die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktion:
[mm] (x^2+1)^x [/mm] |
Hallo zusammen, ich bin neu hier und habe eine Frage.
Ich suche die erste und zweite Ableitung der obigen Funktion (mit Lösungsweg, das wäre toll). Bis zur ersten habe ich es noch geschafft, wenn es stimmt (stimmt das wirklich?)
f'(x)= $ [mm] (x^2+1)^x [/mm] * [mm] ln(x^2) [/mm] * 2x $ (?????)
Habe hier die Kettenregel angewendet.
Bei der 2. Ableitung komme ich etwas ins schleudern....wäre schön, wenn mir jemand weiter helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke und herzliche Grüße von Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mi 30.05.2007 | | Autor: | uwe-b |
f(x) = [mm] (x^2+1)^x [/mm] = g(h(x)) mit
g(x) = [mm] x^x [/mm] und h(x) = [mm] x^2+1
[/mm]
g(x) = [mm] x^x [/mm] = [mm] e^{ln(x)*x}
[/mm]
Bestimme g'(x) der Kettenregel:
[mm](ln(x)*x)' = \frac{1}{x} \cdot x+ln(x) = 1+ln(x)[/mm] (Produktregel)
Also [mm]g'(x) = e^{ln(x)*x}*(1+ln(x)) = e^{ln(x)*x} + ln(x) * e^{ln(x)*x}[/mm]
Bestimme nun h'(x):
h'(x) = 2x
Somit ist insgesamt: [mm]f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = (e^{ln(x^2+1)*(x^2+1)} + ln(x^2+1) * e^{ln(x^2+1)*(x^2+1)}) \cdot 2x [/mm]
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Hallo Uwe!
Bei der Umwandlung der gegebenen Funktion in eine e-Funktion erhalten wir doch:
[mm] $\left(x^2+1\right)^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(x^2+1)}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mi 30.05.2007 | | Autor: | ebarni |
Hey Leute, ich danke euch erst mal für die superschnelle Reaktion und die Lösungsvorschläge. Und für den herzlichen Willkommensgruße im Matheraum! Ich habe ja mit meiner Lösung ziemlich daneben gelegen (wieso eigentlich?) Gibt es da nicht irgend welche Kontrollmöglichkeiten? Warum macht es Sinn, einen gegebene Funktion in eine e-Funktion umzuwandeln? Weil die Ableitung einer e-Funktion wieder die e-Funktion ist, richtig? Doch wie wandle ich um? Und bei welchen Funktionen macht es Sinn?
Ich werde heute abend mal in aller Ruhe versuchen, die zweite Ableitung nach der Produktregel zu bestimmen und werde sie morgen posten. Mal sehen, obs klappt. Danke und Grüße von Andreas.
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Hiho,
das Umwandeln kommt einfach daher, weil du perse nicht weisst, wie die Ableitung von f(x) = [mm] x^x [/mm] aussieht, also schreibt man sich das so schön um, dass man es ableiten kann.
Das gilt [mm] x^x [/mm] = [mm] e^{x*ln(x)} [/mm] lässt sich leicht nachrechnen und von [mm] e^{x * ln (x)} [/mm] kannst du die Ableitung problemlos bestimmen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 30.05.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner, vielen Dank für Deine Hilfe! Ich habe jetzt mal versucht, die erste Ableitung nachzuvollziehen. Das ist mir (fast) gelungen. Allerdings bin ich an einer Stelle gescheitert:
Ich komme bei Anwendung der Produktregel für die erste Ableitung bei:
$ [mm] x\cdot{}\ln(x^2+1) [/mm] $
immer wieder auf:
$ [mm] 1\cdot{}\ln(x^2+1)+x\cdot{}\bruch{1}{x^2+1} [/mm] $
woher kommen die 2x vom zweiten Term?
$ [mm] ln(x^2+1) [/mm] $ abgeleitet gibt doch $ [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] $ oder nicht?
Wo ist der Fehler?
Viele Grüße von Andreas
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Hallo Andreas,
>
> woher kommen die 2x vom zweiten Term?
das ist die innere Ableitung (die von [mm] x^2+1)
[/mm]
>
> [mm]ln(x^2+1)[/mm] abgeleitet gibt doch [mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm] oder
> nicht?
nein
> Wo ist der Fehler?
genau hier 
[mm] \ln(x^2+1) [/mm] musst du nach der Kettenregel ableiten:
[mm] \left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdot{}g'(x) [/mm]
"äußere" [mm] \cdot{} [/mm] "innere" Ableitung
Also [mm] \ln(x^2+1)'=\underbrace{\frac{1}{x^2+1}}_{aeussere Ableitung}\cdot{}\underbrace{2x}_{innere Ableitung}=\frac{2x}{x^2+1}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Mi 30.05.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo schachuzipus,vielen Dank für Deine schnelle Antwort! Jetzt habe ich doch keine schlaflose Nacht vor mir Habe ich glatt die innere Ableitung unterschlagen....Danke nochmal für die schnelle Hilfe und - Gute Nacht!
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 06.06.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | Finde die erste Ableitung von
[mm] e^{x*\ln(x^2+1)}*\left[\ln(x^2+1)+\bruch{2x^2}{x^2+1}\right] [/mm] |
Hi, habe mir jetzt mal die Mühe gemacht, die Ableitung vom obigen Ausdruck auszurechnen, es entsteht irgendwie ein noch gewaltigerer Ausdruck.
Wenn man die Produktregel anwendet, muss man doch die Ableitung der eckigen Klammer bilden. Und in der eckigen Klammer kommt doch zuerst (für den Ausdruck [mm] \bruch{2x^2}{x^2+1} [/mm] ) die Quotientenregel und dann für die komplette eckige Klammer die Summenregel zur Anwendung, ist das richtig? Das ergibt dann in der eckigen Klammer insgesamt wieder wieder ein (Polynom)Bruch.
Nun zum Abschluss die Produktregel (für den Ausdruck vor der eckigen Klammer [mm] e^{x*\ln(x^2+1)} [/mm]) mit dem (bereits abgeleiteten) Bruch in der eckigen Klammer. Dann muss ich ja (gemäß Produktregel) den Ausdruck in der eckigen Klammer nochmal ableiten? Das erscheint mir irgendwie komisch.
Liege ich da trotzdem richtig? Ich habe diese Frage nirgendwo anders gestellt.
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mi 06.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Produktregel: erstens [mm] e^{x*\ln(x^2+1)} [/mm] ableiten, mit [...] multipl. ergibt doch einfach [mm] e^{x*\ln(x^2+1)}*[...]^2
[/mm]
dann [mm] +e^{x*\ln(x^2+1)}*([...])' [/mm] und das ist nicht so schlimm!
> Finde die erste Ableitung von
> [mm]e^{x*\ln(x^2+1)}*\left[\ln(x^2+1)+\bruch{2x^2}{x^2+1}\right][/mm]
> Hi, habe mir jetzt mal die Mühe gemacht, die Ableitung vom
> obigen Ausdruck auszurechnen, es entsteht irgendwie ein
> noch gewaltigerer Ausdruck.
> Wenn man die Produktregel anwendet, muss man doch die
> Ableitung der eckigen Klammer bilden. Und in der eckigen
> Klammer kommt doch zuerst (für den Ausdruck
> [mm]\bruch{2x^2}{x^2+1}[/mm] ) die Quotientenregel und dann für die
> komplette eckige Klammer die Summenregel zur Anwendung, ist
> das richtig? Das ergibt dann in der eckigen Klammer
> insgesamt wieder wieder ein (Polynom)Bruch.
>
> Nun zum Abschluss die Produktregel (für den Ausdruck vor
> der eckigen Klammer [mm]e^{x*\ln(x^2+1)} [/mm]) mit dem (bereits
> abgeleiteten) Bruch in der eckigen Klammer. Dann muss ich
> ja (gemäß Produktregel) den Ausdruck in der eckigen Klammer
> nochmal ableiten? Das erscheint mir irgendwie komisch.
ist es auch irgendwie wendest du in Gedanken dir PR 2 mal an! wenns zu mühsam wird schreib wirklich :
[mm] A=e^{x*\ln(x^2+1)} [/mm] B=[...] dann bilde erst A' dann B' einzeln und setz am SCHLUSS A'B+B'A ein. dann verwurschtelst du dich nicht so.
Gruss leduart
> Liege ich da trotzdem richtig? Ich habe diese Frage
> nirgendwo anders gestellt.
> Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Do 07.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi leduart, danke für Deinen post, habe mir echt einen Wolf gerechnet, da dachte ich, stimmt doch was nicht?
Der erste Teil $ [mm] e^{x\cdot{}\ln(x^2+1)}\cdot{}[...]^2 [/mm] $ ist mir jetzt klar.
Beim zweiten Teil:
$ [mm] +e^{x\cdot{}\ln(x^2+1)}\cdot{}([...])' [/mm] $
muss ich doch bei der Ableitung der Klammer $ ([...])' $ zuerst die Quotientenregel für den zweiten Term in der Klammer und dann die Summenregel für die komplette Klammer anwenden, ist das richtig?
Danke für Deine Hilfe. Ich wünsche Dir einen schönen Feiertag!
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du meinstbeide Summanden einzeln ableiten,un die Abl. addieren ,JA und beim 2. Summanden die Quotientenregel , auch JA
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Do 07.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi leduart, vielen Dank, jetzt sehe ich etwas klarer. Hatte mich etwas verannt in der Rechnerei, war etwas zuviel des Guten. 
Jetzt habe ich es auch! Nochmals, vielen Dank!
Grüße, Andreas
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Kettenregel