Erläuterung von Schreibweisen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend,
ich würde gerne einige Fragen zu vllt. sehr einfachen Dingen stellen, die mir aber noch nicht ganz vertraut sind, und ich mir immer unsicher bin, ob ich auch mit der Symbolik richtig umgehen kann.
Fange ich Mal an...
1) Die Quotientengruppe [mm] \IZ/n\IZ=\IZ_n =\{[0],...,[n-1]\} [/mm] heißt doch, dass [mm] n\IZ [/mm] die von n erzeugte Untergruppe ist und die Restklassen [a] sind [mm] \in \IZ. [/mm] Wäre jetzt bspw. [mm] \IQ/n\IZ, [/mm] dann wären alle [a] [mm] \in \IQ, [/mm] oder?
2) Wie sieht der Ring [mm] \IQ/\IZ [/mm] eigtl. genau aus? und warum hat er kein 1 Element? :s
3) Was genau bedeutet es eigtl., wenn bei einem Ring z.b. [mm] \IZ[\sqrt-3] [/mm] steht? Warum schreibt man eigtl. immer [mm] \IZ[\sqrt-3]=\{a+b\sqrt-3 | a,b \in \IZ\}
[/mm]
Das wäre es erstmal. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 So 20.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> 1) Die Quotientengruppe [mm]\IZ/n\IZ=\IZ_n =\{[0],...,[n-1]\}[/mm]
> heißt doch, dass [mm]n\IZ[/mm] die von n erzeugte Untergruppe ist
genau.
> und die Restklassen [a] sind [mm]\in \IZ.[/mm]
nein, es gilt $[a] [mm] \subseteq \mathbb{Z}$!
[/mm]
> Wäre jetzt bspw.
> [mm]\IQ/n\IZ,[/mm] dann wären alle [a] [mm]\in \IQ,[/mm] oder?
auch hier wieder $[a] [mm] \subseteq \mathbb{Q}$.
[/mm]
> 2) Wie sieht der Ring [mm]\IQ/\IZ[/mm] eigtl. genau aus? und warum
> hat er kein 1 Element? :s
das sind eben die restklassen der elemente aus [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] modulo [mm] $\mathbb{Z}$. [/mm] man kann sich etwa überlegen, dass gerade [mm] $\mathbb{Q} \cap [/mm] [0, 1)$ ein repräsentantensystem der nebenklassen darstellt. welches element hättest du denn als $1$ im verdacht?
> 3) Was genau bedeutet es eigtl., wenn bei einem Ring z.b.
> [mm]\IZ[\sqrt-3][/mm] steht?
das ist gerade der teilring von [mm] $\mathbb{C}$, [/mm] den man erhält, wenn man alle polynome aus [mm] $\mathbb{Z}[X]$ [/mm] nimmt und für die unbestimmte $X$ jeweils [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] einsetzt, man "adjungiert" das element [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] an den ring [mm] $\mathbb{Z}$. [/mm]
> Warum schreibt man eigtl. immer
> [mm]\IZ[\sqrt-3]=\{a+b\sqrt-3 | a,b \in \IZ\}[/mm]
das schreibt man vermutlich hier so explizit aus um klar zu machen, dass man alle elemente des rings so darstellen kann.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:57 Di 22.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 2) Wie sieht der Ring [mm]\IQ/\IZ[/mm] eigtl. genau aus? und warum
> hat er kein 1 Element? :s
Das ist ueberhaupt kein Ring: die Multiplikation ist gar nicht wohldefiniert. Z.B. haben 0 und 1 die gleiche Restklasse, wenn du allerdings beide mit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] multiplizierst und die Restklassen bildest, bekommst du zwei verschiedene.
LG Felix
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