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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Do 14.09.2006 | | Autor: | peder |
Hallo Zusammen!
Also ich hoffe ich oute mich nicht zu sehr als Vollidiot, aber wie auch immer - besser dumm gefragt, als nie verstanden:
Also mein Problem ist die Bogenlänge (BL). Ich weiß wie man die Länge einer Kurve ausrechnet (Integral über die Norm des Tangentenvektors usw.). Ich weiß auch, dass für eine Kurve, die in BL parametrisiert ist, gilt, dass die Norm des Tangentenvektors gleich 1 ist.
Aber wo ist da genau der Zusammenhang? Und was bitte bedeutet genau "die Kurve ist in BL parametrisiert"?
sorry für die blöde Frage!
Gruß Dennis
p.s.:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nehmen wir ein Beispiel, etwa den Kreis. Die wohl bekannteste Parameterdarstellung dafür ist
[mm]x = \cos{t} \, , \ \ y = \sin{t} \, ; \ \ t \in \left[ 0 \, , \, 2 \pi \right][/mm]
Wenn [mm]t[/mm] das vorgegebene Intervall durchläuft, wird der Kreis von [mm](1,0)[/mm] bis [mm](1,0)[/mm] einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Beim Parameterwert [mm]t[/mm] ist die Länge des bis dahin durchlaufenen Bogens gerade [mm]t[/mm]:
[mm]\int_0^t~\sqrt{\sin^2{\tau} + \cos^2{\tau}}~\mathrm{d}\tau \ = \ \int_0^t~\mathrm{d}\tau \ = \ t[/mm]
Das ist gemeint, wenn man sagt: Man wählt die Bogenlänge als Parameter. Man hätte ja auch folgendermaßen parametrisieren können:
[mm]x = \cos{\left( \frac{1}{2} \, t \right)} \, , \ \ y = \sin{\left( \frac{1}{2} \, t \right)} \, ; \ \ t \in \left[ 0 \, , \, 4 \pi \right][/mm]
Hier hat man beim Parameterwert [mm]t[/mm] die Bogenlänge [mm]\frac{1}{2} \, t[/mm]. Parameterwert und Bogenlänge entsprechen sich also nicht.
Noch extremer ist das bei
[mm]x = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} \, , \ \ y = - \frac{2t}{t^2 + 1} \, ; \ \ t \in \left[ - \infty \, , \infty \right][/mm]
Hierbei sind die Werte bei [mm]\pm \infty[/mm] im Sinne eines Grenzwertes zu verstehen, für [mm]t = \pm \infty[/mm] ist [mm]x = 1 \, , \, y = 0[/mm].
Auch bei dieser Parameterdarstellung wird der Kreis einmal gegen den Uhrzeigersinn von [mm](1,0)[/mm] bis [mm](1,0)[/mm] durchlaufen. Das Parameterintervall ist dabei unendlich lang, obwohl der Kreis nur die Bogenlänge [mm]2 \pi[/mm] hat.
Wenn man allgemein eine stetig differenzierbare Parameterdarstellung
[mm]\varphi(t) \, ; \ \ t \in [a,b][/mm]
hat, so ist die Bogenlänge beim Parameterwert [mm]t[/mm]:
[mm]s = \sigma(t) = \int_a^t~\left| \varphi'(\tau) \right|~\mathrm{d}\tau[/mm]
Wir nehmen zusätzlich an, daß stets [mm]\varphi'(t) \neq 0[/mm] ist. Dann ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
[mm]\sigma'(t) = \left| \varphi'(t) \right| > 0[/mm]
also [mm]\sigma[/mm] streng monoton wachsend und damit umkehrbar. [mm]\sigma[/mm] bildet das Intervall [mm][a,b][/mm] auf das Intervall [mm][0,l][/mm] ab (wobei [mm]l[/mm] die Gesamtlänge der Kurve sei), ist also eine gewöhnliche reelle Funktion. Die Umkehrabbildung [mm]\sigma^{-1}[/mm] bildet also [mm][0,l][/mm] auf [mm][a,b][/mm] ab. Die gesuchte Beschreibung, die die Kurve durch ihre Bogenlänge [mm]s[/mm] parametrisiert, ist dann
[mm]\psi(s) = \left( \varphi \circ \sigma^{-1} \right)(s) \, ; \ \ s \in [0,l][/mm]
Zum Nachweis berechnet man zunächst gemäß der (mehrdimensionalen) Kettenregel und der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion
[mm]\psi'(s) = \frac{1}{\sigma' \left( \sigma^{-1}(s) \right)} \cdot \varphi' \left( \sigma^{-1}(s) \right)[/mm]
Der Betrag hiervon ist
[mm]\left| \psi'(s) \right| = \frac{1}{\sigma' \left( \sigma^{-1}(s) \right) } \cdot \left| \varphi' \left( \sigma^{-1}(s) \right) \right| = \frac{1}{\left| \varphi' \left(\sigma^{-1}(s) \right) \right|} \cdot \left| \varphi' \left( \sigma^{-1}(s) \right| = 1[/mm]
Daher folgt:
[mm]\int_0^s~\left| \psi'(\tau) \right|~\mathrm{d}\tau \ = \ \int_0^s~\mathrm{d}\tau = s[/mm]
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