Ergebnis herleiten < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | a) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}, \summe_{i=1}^{n}i^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}, \summe_{i=1}^{n}i^{3} [/mm] = [mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^{2}
[/mm]
b) Mittels vollständiger Induktion kann man Formeln leicht beweisen, aber man benötigt schon eine Vermutung für das Ergebnis. Auf diese Vermutung zu kommen ist meist schwieriger als der eigentliche Beweis. in Teil a) haben Sie bereits
[mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3} [/mm] = [mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^{2}
[/mm]
bewiesen. In dieser Teilaufgabe sollen Sie nun deses Ergebnis herleiten(und nicht dessen Korrektheit beweisen). Nutzen Sie dazu die Ergebnisse von [mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{2}. [/mm] Beginnen Sie mit dem Ansatz
[mm] \summe_{i=1}^{n}4i^{3} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}[(i+1)^{4}-i^{4}] [/mm] - [mm] (6i^{2}+4i+1)
[/mm]
Hinweis: Dieser Ansatz ergibt sich aus [mm] (i+1)^{4}-i^{4} [/mm] = [mm] 4i^{3}+6i^{2}+4i+1 [/mm] |
b)
Ich verstehe nicht genau was ich mit dem Ansatz anfangen soll. Wenn ich eine beliebige Zahl einsetze kommt auf beiden Seiten das gleiche raus. Also soll ich auf der rechten Seite was hinzufügen und umformen so das [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2})^{2} [/mm] herauskommt? Und in welchem Zusammenhang steht dieser Ausdruck mit dem Ergebnissen der Summen i und [mm] i^{2}?
[/mm]
Wie könnte man den z.b [mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] herleiten und könnte man daraus [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{2} [/mm] herleiten? Und wenn ja, heißt das man kann aus [mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] das hier [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3} [/mm] = [mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^{2}herleiten?
[/mm]
Kann man das sogar fortsetzen und aus [mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}, \summe_{i=1}^{n}i^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3} [/mm] = [mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^{2} [/mm] sogar [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{4} [/mm] herleiten?
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Hallo Maurizz,
entweder Du machst es Dir zu leicht, oder Du verstehst den Sinn der Aufgabe b) nicht.
Da sollst Du so tun, als gäbe es noch gar keine Summenformel für die Addition der Kuben, sondern bisher nur die für Quadrate und die Dreieckszahlen.
> b) Mittels vollständiger Induktion kann man Formeln leicht
> beweisen, aber man benötigt schon eine Vermutung für das
> Ergebnis. Auf diese Vermutung zu kommen ist meist
> schwieriger als der eigentliche Beweis. in Teil a) haben
> Sie bereits
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}[/mm] = [mm](\bruch{n(n+1)}{2})^{2}[/mm]
> bewiesen. In dieser Teilaufgabe sollen Sie nun deses
> Ergebnis herleiten(und nicht dessen Korrektheit beweisen).
> Nutzen Sie dazu die Ergebnisse von [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{2}.[/mm] Beginnen Sie mit dem Ansatz
> [mm]\summe_{i=1}^{n}4i^{3}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}[(i+1)^{4}-i^{4}][/mm] - [mm](6i^{2}+4i+1)[/mm]
> Hinweis: Dieser Ansatz ergibt sich aus [mm](i+1)^{4}-i^{4}[/mm] =
> [mm]4i^{3}+6i^{2}+4i+1[/mm]
>
> b)
>
> Ich verstehe nicht genau was ich mit dem Ansatz anfangen
> soll. Wenn ich eine beliebige Zahl einsetze kommt auf
> beiden Seiten das gleiche raus. Also soll ich auf der
> rechten Seite was hinzufügen und umformen so das
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{2})^{2}[/mm] herauskommt?
Ja, genau.
> Und in welchem Zusammenhang steht dieser Ausdruck mit dem
> Ergebnissen der Summen i und [mm]i^{2}?[/mm]
Beide kommen auf der rechten Seite vor.
> Wie könnte man den z.b [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] herleiten
Darum geht es hier doch gar nicht. Das sollst Du als bekannt voraussetzen!
> und könnte man daraus [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{2}[/mm] herleiten?
Ja, das könnte man. Aber auch das sollst Du als bekannt voraussetzen.
> Und
> wenn ja, heißt das man kann aus [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] das hier [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}[/mm] =
> [mm](\bruch{n(n+1)}{2})^{2}herleiten?[/mm]
Genau das ist doch die Aufgabe!!!
> Kann man das sogar fortsetzen und aus [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}, \summe_{i=1}^{n}i^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}[/mm] =
> [mm](\bruch{n(n+1)}{2})^{2}[/mm] sogar [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{4}[/mm]
> herleiten?
Ja, das kann man beliebig weit fortsetzen. Du sollst es hier aber nur für die kubische Formel tun.
Es fängt so an:
Es ist [mm] 4i^3=(i+1)^4-i^4-(6i^2+4i+1)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\quad \summe_{i=1}^{n}4i^3=\summe_{i=1}^{n}\left((i+1)^4-i^4-(6i^2+4i+1)\right)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\quad 4*\summe_{i=1}^{n}i^3=\left(\summe_{i=1}^{n}\left((i+1)^4-i^4\right)\right)-\left(\summe_{i=1}^{n}6i^2\right)-\left(\summe_{i=1}^{n}4i\right)-\left(\summe_{i=1}^{n}1\right)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\quad 4*\summe_{i=1}^{n}i^3=\left((n+1)^4-1^4\right)-6*\left(\summe_{i=1}^{n}i^2\right)-4*\left(\summe_{i=1}^{n}i\right)-n
[/mm]
Kannst Du es bis hierhin nachvollziehen? Dann solltest Du den Rest ab hier eigentlich leicht selber schaffen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
[mm] \quad 4\cdot{}\summe_{i=1}^{n}i^3=\left(\summe_{i=1}^{n}\left((i+1)^4-i^4\right)\right)-\left(\summe_{i=1}^{n}6i^2\right)-\left(\summe_{i=1}^{n}4i\right)-\left(\summe_{i=1}^{n}1\right)
[/mm]
$ [mm] \Leftrightarrow\quad 4\cdot{}\summe_{i=1}^{n}i^3=\left((n+1)^4-i^4\right)-6\cdot{}\left(\summe_{i=1}^{n}i^2\right)-4\cdot{}\left(\summe_{i=1}^{n}i\right)-n [/mm] $
gut das heißt ich habe hier die 2 Summen für i und [mm] i^{2}, [/mm] also ersetze ich sie mit dem entsprechenden Term und anschließend ersetze ich i mit n um das Summenzeichen loszuwerden. Und fange an nur die rechte Seite umzuformen. Den Ausdruck -6 * [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] kann ich gut kürzen und -4 * [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] ebenfalls.
[mm] ((n+1)^{4}-n^{4}) [/mm] - (n(n+1)(2n+1)) - 2*(n(n+1)) -n
Ich multipliziere jetzt alles aus und fasse soweit wie möglich zusammen.
Zuerst den 2. Ausdruck: -(n(n+1)(2n+1)) = [mm] -((n^{2}+n)(2n+1)) [/mm] = [mm] -(2n^{3}+3n^{2}+n) [/mm] = [mm] -2n^{3}-3n^{2}-n
[/mm]
Dann den 3. Ausdruck: -2*(n(n+1)) = [mm] -2(n^{2}+n) [/mm] = [mm] -2n^{2}-2n
[/mm]
Noch den 1. Ausdruck: [mm] ((n+1)^{2}(n+1)^{2} [/mm] - [mm] n^{4}) [/mm] = [mm] ((n^{2}+2n+1)(n^{2}+2n+1) [/mm] - [mm] n^{4})
[/mm]
= [mm] n^{4} [/mm] + [mm] 2n^{3} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] + [mm] 2n^{3} [/mm] + [mm] 4n^{2} [/mm] +2n + [mm] n^{2} [/mm] + 2n +1 - [mm] n^{4}
[/mm]
= [mm] 4n^{3}+6n^{2}+4n+1
[/mm]
Zusammen sieht es dann so aus: [mm] 4n^{3}+6n^{2}+4n+1 -2n^{3}-3n^{2}-n -2n^{2}-2n [/mm] - n
geordnet: [mm] 4^{3} [/mm] - [mm] 2n^{3} [/mm] + [mm] 6n^{2} [/mm] - [mm] 3n^{2} [/mm] - [mm] 2n^{2} [/mm] + 4n - 2n - n - n + 1
wieder zusammenfassen: [mm] 2n^{3} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] + 1
Das wird jetzt durch 4 geteilt(siehe den ersten Satz): [mm] \bruch{2n^{3}+n^{2}+1}{4}
[/mm]
Und hier raus soll [mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^{2} [/mm] entstehen. Aber wie?
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Hallo Maurizz,
das stimmt noch nicht.
> [mm]\quad 4\cdot{}\summe_{i=1}^{n}i^3=\left(\summe_{i=1}^{n}\left((i+1)^4-i^4\right)\right)-\left(\summe_{i=1}^{n}6i^2\right)-\left(\summe_{i=1}^{n}4i\right)-\left(\summe_{i=1}^{n}1\right)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\quad 4\cdot{}\summe_{i=1}^{n}i^3=\left((n+1)^4-i^4\right)-6\cdot{}\left(\summe_{i=1}^{n}i^2\right)-4\cdot{}\left(\summe_{i=1}^{n}i\right)-n[/mm]
Die erste Summe, die wegfällt - also die mit den vierten Potenzen - ist falsch aufgelöst. Hier handelt es sich um eine Teleskopsumme. Wenn man sie ausschreibt, steht da doch [mm] (2^4-1^4)+(3^4-2^4)+\cdots+((n+1)^4-n^4). [/mm] Davon bleibt im Endeffekt nur stehen: [mm] (n+1)^4-\blue{1}^4.
[/mm]
Überhaupt sind die ganzen i's doch nur Laufvariablen. Sie müssen verschwinden, wenn die Summen aufgelöst werden!
> gut das heißt ich habe hier die 2 Summen für i und [mm]i^{2},[/mm]
> also ersetze ich sie mit dem entsprechenden Term und
> anschließend ersetze ich i mit n
Nein! Zwar kann i auch den Wert n annehmen, aber Du brauchst die betreffende Summenformel. Da wird kein i ersetzt, sondern die ganze Summe durch einen Term in n.
> um das Summenzeichen
> loszuwerden. Und fange an nur die rechte Seite umzuformen.
> Den Ausdruck -6 * [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] kann ich gut
> kürzen und -4 * [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] ebenfalls.
>
> [mm]((n+1)^{4}-n^{4})[/mm] - (n(n+1)(2n+1)) - 2*(n(n+1)) -n
Wo kommt denn jetzt vorn das [mm] n^4 [/mm] her? Das hat die nichts zu suchen. Da gehört eine 1 hin.
> Ich multipliziere jetzt alles aus und fasse soweit wie
> möglich zusammen.
Ausmultiplizieren ist fast immer die blödeste Idee bei solchen Aufgaben. Sieh lieber zu, wie Du möglichst viel bewahren kannst, indem Du ausklammerst. Wenn Du vorn statt [mm] n^4 [/mm] dann eine 1 hast, kannst Du z.B. erstmal (n+1) ausklammern.
> Zuerst den 2. Ausdruck: -(n(n+1)(2n+1)) =
> [mm]-((n^{2}+n)(2n+1))[/mm] = [mm]-(2n^{3}+3n^{2}+n)[/mm] = [mm]-2n^{3}-3n^{2}-n[/mm]
>
> Dann den 3. Ausdruck: -2*(n(n+1)) = [mm]-2(n^{2}+n)[/mm] =
> [mm]-2n^{2}-2n[/mm]
>
> Noch den 1. Ausdruck: [mm]((n+1)^{2}(n+1)^{2}[/mm] - [mm]n^{4})[/mm] =
> [mm]((n^{2}+2n+1)(n^{2}+2n+1)[/mm] - [mm]n^{4})[/mm]
> = [mm]n^{4}[/mm] + [mm]2n^{3}[/mm] + [mm]n^{2}[/mm] + [mm]2n^{3}[/mm] +
> [mm]4n^{2}[/mm] +2n + [mm]n^{2}[/mm] + 2n +1 - [mm]n^{4}[/mm]
> = [mm]4n^{3}+6n^{2}+4n+1[/mm]
>
> Zusammen sieht es dann so aus: [mm]4n^{3}+6n^{2}+4n+1 -2n^{3}-3n^{2}-n -2n^{2}-2n[/mm]
> - n
> geordnet: [mm]4^{3}[/mm] - [mm]2n^{3}[/mm] + [mm]6n^{2}[/mm] - [mm]3n^{2}[/mm] - [mm]2n^{2}[/mm] + 4n -
> 2n - n - n + 1
> wieder zusammenfassen: [mm]2n^{3}[/mm] + [mm]n^{2}[/mm] + 1
> Das wird jetzt durch 4 geteilt(siehe den ersten Satz):
> [mm]\bruch{2n^{3}+n^{2}+1}{4}[/mm]
>
> Und hier raus soll [mm](\bruch{n(n+1)}{2})^{2}[/mm] entstehen. Aber
> wie?
Kann es nicht, es ist ja auch nicht das gleiche. Der Rechenfehler liegt vorher.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
> Die erste Summe, die wegfällt - also die mit den vierten Potenzen - ist falsch aufgelöst. Hier handelt es > sich um eine Teleskopsumme. Wenn man sie ausschreibt, steht da doch $ [mm] (2^4-1^4)+(3^4-2^4)+\cdots+((n+1)^4-n^4). [/mm] > $ Davon bleibt im Endeffekt nur stehen: $ [mm] (n+1)^4-\blue{1}^4. [/mm] $
Ich verstehe absolut nicht wie man auf [mm] (n+1)^4-\blue{1}^4 [/mm] kommt. So etwas wie von einer Teleskopsumme hab ich nie gehört. Was ist denn die Eigenschaft von so einer Summe? Und wie kommt man auf dessen Term?
Ich kann [mm] ((n+1)^4-n^4) [/mm] und [mm] (n+1)^4-\blue{1}^4 [/mm] nicht in Einklang bringen...
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Hallo nochmal,
> > Die erste Summe, die wegfällt - also die mit den vierten
> > Potenzen - ist falsch aufgelöst. Hier handelt es sich um
> > eine Teleskopsumme. Wenn man sie ausschreibt, steht da doch
> > [mm](2^4-1^4)+(3^4-2^4)+\cdots+((n+1)^4-n^4). >[/mm] Davon bleibt im
> > Endeffekt nur stehen: [mm](n+1)^4-\blue{1}^4.[/mm]
>
> Ich verstehe absolut nicht wie man auf [mm](n+1)^4-\blue{1}^4[/mm]
> kommt. So etwas wie von einer Teleskopsumme hab ich nie
> gehört. Was ist denn die Eigenschaft von so einer Summe?
> Und wie kommt man auf dessen Term?
![[]](/images/popup.gif) Nachschlagen hilft. Das muss man im Studium halt manchmal. Selbständig.
Noch besser: nachrechnen. Ich hab Dir alles aufgeschrieben.
Wenn es Dir mit "n" zu kompliziert ist, dann schreib die Summe doch mal für n=5 aus.
Teleskopsumme heißt: bei jedem neuen Summenglied fällt irgendwo vorher dafür etwas weg. Am Ende bleibt meist nur ein Teil des allerersten Terms und ein Teil des allerletzten übrig, so wie hier.
> Ich kann [mm]((n+1)^4-n^4)[/mm]
Das ist der letzte Term in der Summe, also für i=n.
> und [mm](n+1)^4-\blue{1}^4[/mm] nicht in
> Einklang bringen...
Das ist die gesamte Summe, wenn man mal fertig gerechnet hat.
Also rechne es nach. Dazu sind Übungen ja da. Du hast doch nichts davon, wenn ich es kann. Du willst es schließlich selber können. Also: ran an die Buletten.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Sa 10.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib mal die ersten paar Glieder und die 2 letzten von
[mm] \summe_{i=1}^{n}(i+1)^4-i^4 [/mm] hin dann siehst du was eine Teleskopsumme ist, dabei die hoch 4 nicht ausrechnen.
es fängt an mit [mm] 2^4-1^4+3^4-2^4... [/mm] mach noch ein paar weiter und schreib die letzten 2 hin.
anderer Weg [mm] \summe_{i=1}^{n}(i+1)^4=\summe_{i=2}^{n+1}i^4
[/mm]
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 So 11.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Ich glaube ich sehs jetzt:
Wenn n z.b 4 ist, dann haben wir folgende Zahlenfolgen:
16 + 81 + 256 + 625
- 1 + 16 + 81 + 256
Und da wir ja diese von einander abziehen bleibt nur noch das letzte glied 625 - 1 dem ersten glied.
Und deshalb ist bei dem Ausdruck die Folgerung [mm] (4+1)^{4} [/mm] - 1 vollkommen richtig.
d.h aber, dass sich je nach term beliebig viele glieder aufheben können und nicht unbedingt nur das erste und das letzte glied übrig bleiben müssen.
z.b (i+2) und (i)
81 + 256 + 625 + 1296
- 1 + 16 + 81 + 256
Das wäre hier also [mm] \summe_{i=3}^{4}(i+2)^{4} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{4}i^{4}
[/mm]
Jetzt kann ich wieder an die eigentliche Aufgabe zurück!
Danke für die hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 So 11.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
hm, ja.
> Ich glaube ich sehs jetzt:
>
> Wenn n z.b 4 ist, dann haben wir folgende Zahlenfolgen:
>
> 16 + 81 + 256 + 625
> - 1 + 16 + 81 + 256
Du rechnest zuviel mit Zahlen. Dass hier irgendwo [mm] -3^4 [/mm] und woanders [mm] 3^4 [/mm] auftaucht, reicht doch, ohne dass man weiß, dass [mm] 3^4=81 [/mm] ist.
> Und da wir ja diese von einander abziehen bleibt nur noch
> das letzte glied 625 - 1 dem ersten glied.
>
> Und deshalb ist bei dem Ausdruck die Folgerung [mm](4+1)^{4}[/mm] -
> 1 vollkommen richtig.
Ok. Soweit der Groschen.
> d.h aber, dass sich je nach term beliebig viele glieder
> aufheben können und nicht unbedingt nur das erste und das
> letzte glied übrig bleiben müssen.
Hängt von der Konstruktion der Summe ab, aber ja, das ist möglich.
> z.b (i+2) und (i)
>
> 81 + 256 + 625 + 1296
> - 1 + 16 + 81 + 256
>
>
> Das wäre hier also [mm]\summe_{i=3}^{4}(i+2)^{4}[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{4}i^{4}[/mm]
Bist Du sicher? Da ist was doppelt gemoppelt.
> Jetzt kann ich wieder an die eigentliche Aufgabe zurück!
>
> Danke für die hilfe.
Dann mal los. Jetzt ist es auch nicht mehr weit.
Nur nochmal der Tipp: lieber Ausklammern als Ausmultiplizieren!
Grüße
reverend
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