Ergänzen von Basen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Mi 13.06.2007 | | Autor: | canada |
| Aufgabe | Ergänze {e1,e2} [mm] \subseteq \IR^{4} [/mm] mit Hilfe von Elementen aus
{(1,1,1,1),(1,1,-1,-1),(1,2,3,4),(4,3,2,1)} zu einer Basis von [mm] \IR^4 [/mm] |
Also ich nehme an dass ich mir aus der Menge zwei Elemente aussuchen und dann damit zeigen muss dass meine Favoriten ein EZS und linear unabhänig sind.
Das Kriterium für lineare unabhänigkeit kenne ich und hab keine Probleme, aber wie beweise ich dass meine Elemente die Lineare Hülle von [mm] \IR^4 [/mm] bilden?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Wenn man vier lin. unabh. Vektoren hat, dann sind sie auf jeden Fall EzS von [mm] \IR^4. [/mm] Man kann argumentieren, dass [mm] \IR^4 [/mm] Dimension 4 hat und dann hat die Basis auch die Länge 4. Oder man wendet brute-force an und zeigt, dass man einen beliebigen Vektor [mm] x\in\IR^4 [/mm] durch die Basisvektoren linear kombinieren kann. Das bedeutet ein LGS lösen, was schon ziemlich nervig ist.
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 13.06.2007 | | Autor: | canada |
Hi
Wenn ich dich richtig ferstanden habe würde also die Lösung lauten.
Da [mm] \IR^4 [/mm] die Dimension 4 hat, ist jede linear unabhänige, 4 Elementige Teilmenge eine Base.
zu zeigen bleibt die lineare unabhänigkeit von {(1,1,1,1),(1,1,-1,-1),(1,2,3,4),(4,3,2,1)}
also:
[mm] \lambda_{1} [/mm] (1,1,1,1) + [mm] \lambda_{2} [/mm] (1,1,-1,-1) + [mm] \lambda_{3} [/mm] (1,2,3,4) + [mm] \lambda_{4} [/mm] (4,3,2,1) = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = [mm] \lambda_{4} [/mm] = 0
|
|
|
| |
|
Hallo canada,
> Hi
> Wenn ich dich richtig ferstanden habe würde also die
> Lösung lauten.
>
> Da [mm]\IR^4[/mm] die Dimension 4 hat, ist jede linear unabhänige, 4
> Elementige Teilmenge eine Base. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ja
> zu zeigen bleibt die lineare unabhänigkeit von
> {(1,1,1,1),(1,1,-1,-1),(1,2,3,4),(4,3,2,1)}
ja, das bleibt zu zeigen
>
> also:
> [mm]\lambda_{1}[/mm] (1,1,1,1) + [mm]\lambda_{2}[/mm] (1,1,-1,-1) +
> [mm]\lambda_{3}[/mm] (1,2,3,4) + [mm]\lambda_{4}[/mm] (4,3,2,1) = 0
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}[/mm] = [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm] =
> [mm]\lambda_{4}[/mm] = 0
Jo genau das musst du nachweisen (durch Lösen des Gleichungssystems)
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> zu zeigen bleibt die lineare unabhänigkeit von
> {(1,1,1,1),(1,1,-1,-1),(1,2,3,4),(4,3,2,1)}
Nein, nicht von diesen Vektoren (die sind nicht unabhängig). Du sollst dir von diesen vier zwei aussuchen, so dass die zwei zusammen mit e1 und e2 lin. unabh.
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 13.06.2007 | | Autor: | canada |
Hi dormant
eine Frage wie soll das gehen, da ich doch [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] nicht näher beschrieben habe?
Ich dachte bisher ich müsste die zwei durch Werte aus der Menge ersetzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hi dormant
>
> eine Frage wie soll das gehen, da ich doch [mm]e_1[/mm] und [mm]e_2[/mm]
> nicht näher beschrieben habe?
e1=(1, 0, 0, 0); e2=(0, 1, 0, 0).
> Ich dachte bisher ich müsste die zwei durch Werte aus der
> Menge ersetzen.
Nein, nicht ersetzen - ergänzen, dazunehmen.
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mi 13.06.2007 | | Autor: | canada |
>
> e1=(1, 0, 0, 0); e2=(0, 1, 0, 0).
Kann ich so einfach [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] als kanonische Basen annehmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
e1 und e2 sind keine Basen, sondern die ersten zwei Vektoren der kanonischen Basis. Das ist eine Standard-Bezeichnung.
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 13.06.2007 | | Autor: | canada |
OK das erklärt einiges.
Ein Herzliches Danke nochmal.
mfg
Canada
|
|
|
|
