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| Aufgabe | Ergänzen Sie das gleichseitige Dreieck zu einem regelmäßigen Tetraeder, indem Sie einen Punkt D finden, dessen Abstand zu allen drei Eckpunkten gleich der Seitenlänge des Dreiecks ist. (Dabei gibt es zwei Lösungen.)
Hinweis:
Bestimmen und benutzen Sie einen Vektor der orthogonal zu allein Dreiecksseiten ist.
[mm] A=\vektor{4 \\ 2 \\ 0} B=\vektor{6 \\ 2 \\ 0} C=\vektor{8 \\ 4 \\ 4}
[/mm]
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bitte um einen Tipp. Wie man einen orthogonalen Vektor 'baut' weiß ich. Aber wie finde ich einen der zu allen den selben ABstand hat?
mfg
Metin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mo 20.07.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ergänzen Sie das gleichseitige Dreieck zu einem
> regelmäßigen Tetraeder, indem Sie einen Punkt D finden,
> dessen Abstand zu allen drei Eckpunkten gleich der
> Seitenlänge des Dreiecks ist. (Dabei gibt es zwei
> Lösungen.)
> Hinweis:
> Bestimmen und benutzen Sie einen Vektor der orthogonal zu
> allein Dreiecksseiten ist.
>
> [mm]A=\vektor{4 \\ 2 \\ 0} B=\vektor{6 \\ 2 \\ 0} C=\vektor{8 \\ 4 \\ 4}[/mm]
>
>
> bitte um einen Tipp. Wie man einen orthogonalen Vektor
> 'baut' weiß ich. Aber wie finde ich einen der zu allen den
> selben ABstand hat?
Du könntest z. B. den Mittelpunkt des Dreiecks bestimmen und dann die orthogonale Gerade durch diesen Punkt. Jetzt suchst du noch die Punkte auf dieser Geraden, die von einem (und damit von allen) Eckpunkt den gleichen Abstand haben wie die Seitenlänge, die du hoffentlich ausrechnen kannst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hi. Ja ich kann die Länge der Seiten berechnen [mm] (2\wurzel{6}) [/mm] und ich habe bereits den Schwerpunkt bestimmt der mit dem Mittelpunkt zusammenfallen müsste. ( [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 2} [/mm] )
Trotzdem verstehe ich nicht, wie ich dort jetzt einen geeigneten Vektor produziere. Orthogonal heißt Skalarprod. = 0 Für den Mittelpunkt habe ich aber doch nur einen Punkt?! und keine Gerade zu der ich irgend etwas othogonales machen könnte... hm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mo 20.07.2009 | | Autor: | statler |
Du schreibst die Gerade in Parameterform hin: Der Mittelpunkt ist der Stützpunkt und der orthogonale Vektor ist der Richtungsvektor.
Gruß
Dieter
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Also ich habe jetzt gelesen: "Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung folgender Form beschreiben: $ g: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] a + [mm] r\cdot{} \vec [/mm] u $ "
der Mittelpunkt ist also a und u ist der othogonale? Ich habe aber den orthogonalen nicht und r kenne ich auch nicht. Wie bestimme ich daraus einen euen vektor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mo 20.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Also ich habe jetzt gelesen: "Jede Gerade lässt sich durch
> eine Gleichung folgender Form beschreiben: [mm]g: \vec x = \vec a + r\cdot{} \vec u[/mm]
> "
Genau, das ist die Parameterform.
> der Mittelpunkt ist also a und u ist der othogonale? Ich
> habe aber den orthogonalen nicht und r kenne ich auch
> nicht. Wie bestimme ich daraus einen euen vektor?
[mm] \vec{u} [/mm] mußt du bestimmen, er muß auf den Dreiecksseiten senkrecht stehen. Er ist nicht eindeutig bestimmt, aber das macht nichts. Und r ist der Parameter, der durchläuft alle reellen Zahlen. Sonst wärs ja keine Gerade.
Aber r bestimmst du dann auch noch über die Länge. Das gibt eine quadratische Gleichung für r. Die errechneten Werte für r setzt du ein und erhältst die gesuchten Punkte. Alles ganz einfach und anschaulich.
Gruß
Dieter
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Danke für die Mühe aber wie du sicher merkst musst du schon etwas konkreter werden, vlt hab ich heute aber auch einfach nur ne Blockade.
Was du sagst verstehe ich zwar, weiß aber nicht wie ichs mache!
Wenn ich die Gerade in Parameterform aufstelle (selbe Frage wie eben) und weder r noch u habe wie bestimme ich dann eins davon.
Über wessen Länge soll ich r bestimmen. Über u? Wie soll das gehen wenn ich doch eig. u bestimmen soll. Woher kommt die quadr. Gleichung?
Welche Rolle spielt mein stützpunkt/mittelpunkt/schwerpunkt dabei? Den setze ich doch für a ein oder nicht?
Für mich ist das weder einfach noch anschaulich, sorry, anschaulich wären für mich Beispiele gewesen. Ich kann verstehen, dass du nicht dafür da bist einem die Aufgaben vorzurechnen, dass sollst du auch gar nicht, aber so komme ich irgendwie auch nicht weiter... trotzdem danke bis hier hin.
Grüße
Metin
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Hallo Metin,
hast du denn schon einen Vektor bestimmt,
der zur Dreiecksebene (bzw. zu dessen Seiten-
Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}) [/mm] senkrecht steht ?
Dann kannst du mit ihm als Richtungsvektor
und mit dem Schwerpunkt des Dreiecks
(den hast du vorher übrigens falsch ange-
geben) als Stützpunkt die Gleichung für die
Gerade aufstellen, auf welcher der Punkt D
liegen muss.
LG
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Aha. Ebene war das Stichwort.
Ich habe außerdem (sorry) sehe ich grade A ganz am Anfang falsch geschrieben er heißt A = (4,6,2). Ich nehme an der Mittelpunkt ist dann richtig oder?
Du hast 2 mal AB geschrieben ich nehme an du meinst AB und AC. Die beiden spannen eine Ebene auf und dazu suche ich eine Orthogonale. Die Orth. (u) + der Mittelpunkt (a) setze ich in die Parametergleichung ein. Diese muss ich dann nach r auflösen?
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> Aha. Ebene war das Stichwort.
>
> Ich habe außerdem (sorry) sehe ich grade A ganz am Anfang
> falsch geschrieben er heißt A = (4,6,2).
Aha.
> Ich nehme an der
> Mittelpunkt ist dann richtig oder?
Kannst du doch selber nachrechnen.
> Du hast 2 mal AB geschrieben ich nehme an du meinst AB und AC.
Klar. Kopiert und dann vergessen, B durch C
zu ersetzen.
> Die beiden spannen eine Ebene auf und dazu suche ich
> eine Orthogonale. Die Orth. (u) + der Mittelpunkt (a)
den würde ich aber nicht mit (a) bezeichnen ...
> setze ich in die Parametergleichung ein.
damit hast du eine Gleichung für die Normale n
> Diese muss ich dann nach r auflösen?
Du musst diejenigen Punkte auf n bestimmen,
welche von A den Abstand d=Kantenlänge haben.
LG Al-Chw.
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Hi
Ich habe jetzt eine othogonale zu AB und AC : F= [mm] \vektor{-12 \\ -20 \\ -36}
[/mm]
Die gerade ist g : x = [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 2} [/mm] + [mm] r\cdot{} \vektor{-12 \\ -20 \\ -36}
[/mm]
edit: ich habe das mit dem Kreuzprodukt errechnat aber ich zweifle an der Richtigkeit, da das Skalarprod. AB * F ist nicht gleich null ... hm
Statler schrieb ich soll nun r bestimmen mit einer quadratischen Gleichung.
Wie bekomme ich die daraus?
r muss die Gerade ja so lang machen, dass sie bis zu einem Punkt P geht der P-A = C-A = [mm] 2\wurzel{6} [/mm] ist richtig? Wie ermittle ich diesen Punkt
Grüße
M.
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> Hi
> Ich habe jetzt eine orthogonale zu AB und AC : [mm] F=\vektor{-12 \\ -20 \\ -36} [/mm]
> Die gerade ist g : x = [mm]\vektor{6 \\ 4 \\ 2}[/mm] + [mm]r\cdot{} \vektor{-12 \\ -20 \\ -36}[/mm]
>
> edit: ich habe das mit dem Kreuzprodukt errechnat aber ich
> zweifle an der Richtigkeit, da das Skalarprod. AB * F ist
> nicht gleich null ... hm
Du zweifelst mit Recht. Den richtigen Normalenvektor
kann man kürzen und erhält [mm] \vec{n}=\vektor{1\\1\\-1}
[/mm]
>
> Statler schrieb ich soll nun r bestimmen mit einer
> quadratischen Gleichung.
>
> Wie bekomme ich die daraus?
>
> r muss die Gerade ja so lang machen, dass sie bis zu einem
> Punkt P geht der P-A = C-A = [mm]2\wurzel{6}[/mm] ist richtig? Wie
> ermittle ich diesen Punkt
Du musst die Idee nur richtig aufschreiben:
Gesucht ist ein Punkt P(x/y/z), der einerseits
die (richtige) Gleichung der Geraden g und
andererseits die Bedingung
[mm] $|\overrightarrow{AP}|\ [/mm] =\ [mm] 2\wurzel{6}$
[/mm]
erfüllt. Daraus ergibt sich eine Wurzelgleichung
und dann eine einfache quadratische Gleichung
mit 2 Lösungen, was anschaulich klar ist.
>
> Grüße
>
> M.
Al-Chw.
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Das Kreuzprodukt andzuwenden war aber doch der richtige Weg oder?
Für Das Kreuzprodukt nehme ich AB : (2,4,-2) und AC (4,-2,2)
Nach gründlichem Nachrechnen bekomme ich: F: (-12,-12,12)
Darf ich Vektoren beliebig durch einen gemeinsamen Teiler Kürzen? Hier 12 -> neuer Vektor (-1,-1,1) oder geht auch durch -12? Dann wäre er so wie deiner?
Jetzt habe ich die Geradengleichung. Und die Länge dieser Geradengleichung muss gleich der Bed. [mm] 2\wurzel{6} [/mm] sein korrekt?
Setze ich jetzt die Geradengleichung im Betrag = [mm] 2\wurzel{6} [/mm] ?
Ich habe das jetzt mal mit meinem Vektor gemacht:
[mm] \wurzel{(6-r)^2+(4-r)^2+(2+r)^2} [/mm] = ist gleich [mm] 2\wurzel{6} [/mm] ...
egal ob das rechts nun richtig ist oder nicht:
da kommt 56 [mm] -16r+3r^2 [/mm] raus :-( soll ich die armen Zahlen jetzt durch 3 teilen (das wird krumm) ? Oder bin ich noch immer auf dem Holzweg.
Grüße
Metin
(danke für die Geduld)
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Hallo Metin,
> Das Kreuzprodukt anzuwenden war aber doch der richtige Weg
> oder?
Klar, wenn man das kennt, ist es der einfachste
Weg um einen Normalenvektor zu berechnen.
> Für Das Kreuzprodukt nehme ich AB : (2,4,-2) und AC
> (4,-2,2)
>
> Nach gründlichem Nachrechnen bekomme ich: F: (-12,-12,12) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Darf ich Vektoren beliebig durch einen gemeinsamen Teiler
> Kürzen?
Wenn es nur um einen Vektor geht, der
eine Richtung anzeigen soll, ja.
Aber nicht einfach irgendwelche Vektoren
unabhängig vom genauen Zusammenhang
kürzen !!
> Hier 12 -> neuer Vektor (-1,-1,1) oder geht auch
> durch -12? Dann wäre er so wie deiner?
Klar, auch Umkehrung des Richtungsvektors
ergibt immer noch dieselbe Gerade.
>
> Jetzt habe ich die Geradengleichung. Und die Länge dieser
> Geradengleichung muss gleich der Bed. [mm]2\wurzel{6}[/mm] sein
> korrekt?
Das ist keine korrekte Ausdrucksweise. Was die
Länge [mm] 2\wurzel{6} [/mm] haben soll, ist der Vektor
von A zur gesuchten Tetraederspitze !
> Setze ich jetzt die Geradengleichung im Betrag =
> [mm]2\wurzel{6}[/mm] ?
>
> Ich habe das jetzt mal mit meinem Vektor gemacht:
>
> [mm]\wurzel{(6-r)^2+(4-r)^2+(2+r)^2}[/mm] = ist gleich [mm]2\wurzel{6}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der gesuchte Punkt D auf g hat die Koordinaten:
D(6-r/4-r/2+r) mit einer noch unbekannten
Zahl r. A hat die Koordinaten [mm] A(x_A/y_A/z_A)
[/mm]
(setze die richtigen Werte ein !)
Berechne nun zuerst den Vektor [mm] \overrightarrow{AD}.
[/mm]
Das ist der Vektor, der dann die vorgegebene
Länge bekommen muss.
LG Al-Chw.
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Ich bin mir mit den Rechenregeln nicht ganz sicher?!
Entweder ist AD = (2-4r,-2-6r,-2r) oder, und das halte ich für warscheinlicher AD = ( 2-r,-2-r,r)
Wenn ich von letzterem Vektor die Länge bilde ist das der richtige Weg?
Jedoch selbst wenn er es ist bekomme ich in der quadr. Gleichung [mm] 3r^2+ [/mm] kein r + 8 ... das kann nicht stimmen
Habe ich mich geirrt und der Vektor ist so wie zuerst angenommen, dann bekomme ich :
[mm] \wurzel{8-40r+56r^2} [/mm] = [mm] 2\wurzel{6}
[/mm]
ich nehme an das ist beides schmarn und ich sollte zurück auf die Schulbank 
bin aber auch nicht sonderlicher Held im Wurzelziehen und rechnen vlt. ein kleiner Tipp ?
hm
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> Ich bin mir mit den Rechenregeln nicht ganz sicher?!
>
> Entweder ist AD = (2-4r,-2-6r,-2r) oder, und das halte ich
> für warscheinlicher AD = ( 2-r,-2-r,r)
Weshalb denn nur herumraten ?
Natürlich ist die zweite Version richtig !
(und nicht bloss "wahrscheinlich")
> Wenn ich von letzterem Vektor die Länge bilde ist das der
> richtige Weg?
>
> Jedoch selbst wenn er es ist bekomme ich in der quadr.
> Gleichung [mm]3r^2+[/mm] kein r + 8 ... das kann nicht stimmen
Warum denn nicht ?
Man erhält [mm] 3*r^2+8=24, [/mm] also [mm] 3*r^2=16, [/mm] und
daraus bekommt man die 2 möglichen Werte
für r.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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> Hi. Ja ich kann die Länge der Seiten berechnen
> [mm](2\wurzel{6})[/mm] und ich habe bereits den Schwerpunkt bestimmt
> der mit dem Mittelpunkt zusammenfallen müsste. ( [mm]\vektor{6 \\ 4 \\ 2}[/mm]
> )
>
> Trotzdem verstehe ich nicht, wie ich dort jetzt einen
> geeigneten Vektor produziere. Orthogonal heißt Skalarprod.
> = 0 Für den Mittelpunkt habe ich aber doch nur einen
> Punkt?! und keine Gerade zu der ich irgend etwas
> othogonales machen könnte... hm
Der Richtungsvektor der Tetraederhöhe muss
zu den Seitenvektoren des Dreiecks ABC
senkrecht stehen, also z.B. zu [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}.
[/mm]
Lass dich dabei nur nicht dadurch stören,
dass du dir diese Vektoren zunächst als
Pfeile von A zu B bzw. von A zu C vorge-
stellt hast. Vektoren sind verschiebbar,
und zwei Geraden können orthogonal zu-
einander sein, auch wenn sie einander
nicht schneiden.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mo 20.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Ergänzen Sie das gleichseitige Dreieck zu einem
Hallo,
nur mal so nebenbei: Das gegebene Dreieck ist nicht gleichseitig.
Gruß Abakus
> regelmäßigen Tetraeder, indem Sie einen Punkt D finden,
> dessen Abstand zu allen drei Eckpunkten gleich der
> Seitenlänge des Dreiecks ist. (Dabei gibt es zwei
> Lösungen.)
> Hinweis:
> Bestimmen und benutzen Sie einen Vektor der orthogonal zu
> allein Dreiecksseiten ist.
>
> [mm]A=\vektor{4 \\ 2 \\ 0} B=\vektor{6 \\ 2 \\ 0} C=\vektor{8 \\ 4 \\ 4}[/mm]
>
>
> bitte um einen Tipp. Wie man einen orthogonalen Vektor
> 'baut' weiß ich. Aber wie finde ich einen der zu allen den
> selben ABstand hat?
>
> mfg
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> Metin
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