Epsilon Bedingung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Johlan |
| Aufgabe | Zeigen Sie unter verwendung der [mm] \varepsilon, \delta [/mm] Bedingung, dass die Funktion
f: [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] , f(x) := [mm] \bruch{x - 1}{x^{2} + 1} [/mm] in [mm] x_{0} [/mm] stetig ist. |
f(x) = [mm] \bruch{x - 1}{x^{2} + 1}
[/mm]
[mm] \left| x - x_{0} \right| [/mm] = [mm] \left| x - (-1) \right| [/mm] = [mm] \left| x +1 \right| \le \delta
[/mm]
[mm] \left| f(x) - f(x_{0}) \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{x - 1}{x^{2} + 1} - 1 \right| \le \varepsilon
[/mm]
x - 1 < x + 1 [mm] \le \delta
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] + 1 < (x + [mm] 1)^{2} \le \delta^{2}
[/mm]
[mm] \delta [/mm] und [mm] \delta^{2} [/mm] einsetzen in [mm] \left| f(x) - f(x_{0}) \right| [/mm]
ergibt [mm] \left| \bruch{\delta}{\delta^{2}} - 1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
=> [mm] \left| \bruch{1}{\delta} - 1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Und das ist Unsinn denn [mm] \varepsilon [/mm] muss ja größer 0 sein.
Ist wenigstens der Ansatzt richtig?
Ich habe es auch schonmal anders versucht,
aber bin mit dem Bruch [mm] \bruch{x - 1}{x^{2} - 1} [/mm] nicht weiter gekommen.
Wäre die Dreiecksungleichung ein guter Ansatzt?
Damit wurde es aber sehr umfangreich und kompliziert.
Mfg
Johlan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Fr 14.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Johlan
> Zeigen Sie unter verwendung der [mm]\varepsilon, \delta[/mm]
> Bedingung, dass die Funktion
>
> f: [mm]\IR \mapsto \IR[/mm] , f(x) := [mm]\bruch{x - 1}{x^{2} + 1}[/mm] in
> [mm]x_{0}[/mm] stetig ist.
> f(x) = [mm]\bruch{x - 1}{x^{2} + 1}[/mm]
>
> [mm]\left| x - x_{0} \right|[/mm] = [mm]\left| x - (-1) \right|[/mm] = [mm]\left| x +1 \right| \le \delta[/mm]
Da liegt dein 1. Fehler : wenn mit [mm] x_{0} [/mm] die Nullstelle gemeint ist, dann ist [mm] x_{0}=1 [/mm] und nicht -1
dann schreib erst mal deine Beh. richtig auf.
dann benutze [mm] $x^2+1 \ge [/mm] 1$ und damit [mm] $1/(x^2+1)\le1$
[/mm]
Wenn dein [mm] x_{0}=-1 [/mm] vorgegeben ist, dann bring dein f(x)-f(1) erst mal auf einen Nenner! benutze wieder [mm] $1/(x^2+1)\le1$ [/mm] und 0<x<x+1 dann bist du schnell fertig.
> [mm]\left| f(x) - f(x_{0}) \right|[/mm] = [mm]\left| \bruch{x - 1}{x^{2} + 1} - 1 \right| \le \varepsilon[/mm]
f(-1)=-1, dh falsch :
richtig: [mm]\left| \bruch{x - 1}{x^{2} + 1} +1 \right| \le \varepsilon[/mm]
Ich hoff, jetzt kommst du durch
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Johlan |
Sorry erstmal, hatte was vergessen.
Das [mm] x_{0} [/mm] war/ist mit -1 vorgegeben.
Ich weiß nicht wie ich im Nenner [mm] \delta [/mm] einbringen kann
(bzw.das x wegbekommen kann).
Tipps?
Danke üprigens für die schnelle Antwort.
Mfg
Johlan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Johlan,
leduart hat dir eigentlich die besten Tipps schon gegeben: auf einen Nenner bringen und die Abschätzungen benutzen.
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|\bruch{x-1}{x^2+1}+1|=|\bruch{x-1+x^2+1}{x^2+1}|\le|x-1+x^2+1|=... [/mm]
usw. du musst nur noch 0<x<x+1 benutzen, dann hast du's.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Johlan |
Ich verstehe nicht ganz wie ich die Aschätzung (0<x<x+1) benutzen soll.
So hätte ich es versucht
[mm] \left|x-1+x^2+1\right|= \left|x + x^{2} \right| [/mm] = [mm] \left| x(1 + x) \right| [/mm] = [mm] \left| x(\delta) \right|
[/mm]
aber ich komme einfach nicht weiter.
Mfg
Johlan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi nochmal,
Probiers mal mit [mm] |x(x+1)|\le|(x+1)(x+1)|\le\delta^2 [/mm]
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 So 16.04.2006 | | Autor: | Johlan |
Ich habs mal so probiert wie du vorgeschlagen hast:
Zu zeigen: [mm] \left| f(x) - f(x_{0})\right| \le \varepsilon [/mm] für alle x mit [mm] \left| x - x_{0}\right| \le \delta
[/mm]
[mm] \left| x - x_{0}\right| [/mm] = [mm] \left| x - (-1) \right| [/mm] = [mm] \left| x + 1 \right| \le \delta
[/mm]
[mm] \left| f(x) - f(x_{0})\right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{x - 1}{x^{2} + 1} - (-1) \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{x - 1}{x^{2} + 1} + 1 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{x - 1 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{x + x^{2}}{x^{2} + 1} \right| \le \left| x + x^{2} \right| [/mm] = [mm] \left| x(1 + x) \right| \le \left| (x + 1)(x + 1) \right| \le \delta^{2} \le \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta \le \wurzel{\varepsilon}
[/mm]
Ist das so überhaupt richtig?
Und falls es richtig ist, muss ich jetzt noch ein epsilon und ein delta finden(konkrete Werte) die die Ungleichung erfüllen oder reicht es das die Ungleichung erfüllbar ist?
Mfg
Johlan
PS: Danke übrigens das ihr euch so viel Mühe macht und so viel Geduld mit mir habt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 So 16.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi johlan,
jaja, die epsilon-delta Definition ist sehr verwirrend am Anfang.
Aber du hast es jetzt richtig.
> Ich habs mal so probiert wie du vorgeschlagen hast:
>
> Zu zeigen: [mm]\left| f(x) - f(x_{0})\right| \le \varepsilon[/mm]
> für alle x mit [mm]\left| x - x_{0}\right| \le \delta[/mm]
>
> [mm]\left| x - x_{0}\right|[/mm] = [mm]\left| x - (-1) \right|[/mm] = [mm]\left| x + 1 \right| \le \delta[/mm]
>
> [mm]\left| f(x) - f(x_{0})\right|[/mm] = [mm]\left| \bruch{x - 1}{x^{2} + 1} - (-1) \right|[/mm]
> = [mm]\left| \bruch{x - 1}{x^{2} + 1} + 1 \right|[/mm] = [mm]\left| \bruch{x - 1 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \right|[/mm]
> = [mm]\left| \bruch{x + x^{2}}{x^{2} + 1} \right| \le \left| x + x^{2} \right|[/mm]
> = [mm]\left| x(1 + x) \right| \le \left| (x + 1)(x + 1) \right| \le \delta^{2} \le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta \le \wurzel{\varepsilon}[/mm]
>
> Ist das so überhaupt richtig?
schreib ein es einfach so am Ende:
[mm] \ldots\le\delta^{2} [/mm] und definiere dann [mm] \delta:=\wurzel{ \epsilon}
[/mm]
> Und falls es richtig ist, muss ich jetzt noch ein epsilon
> und ein delta finden(konkrete Werte) die die Ungleichung
> erfüllen oder reicht es das die Ungleichung erfüllbar ist?
Es heisst doch am Anfang der Definition zu Stetigkeit:'zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta...' [/mm] Das heisst [mm] \delta [/mm] hängt von [mm] \epsilon [/mm] ab. Und wie? Eine Möglichkeit hast du grade ausgerechnet, nämlich so [mm] \delta=\wurzel{ \epsilon}. [/mm] Wählst du z.B. [mm] \epsilon=5, [/mm] dann weisst du, dass dein [mm] \delta=\wurzel{5} [/mm] sein muss, um die Stetigkeitsbedingung zu zeigen. Für [mm] \epsilon=0,01, \delta=0,1 [/mm] usw. Und da es für beliebige kleine [mm] \epsilon(>0) [/mm] so ein [mm] \delta [/mm] gibt, ist f stetig im Punkt [mm] x_0.
[/mm]
>
> Mfg
>
> Johlan
>
> PS: Danke übrigens das ihr euch so viel Mühe macht und so
> viel Geduld mit mir habt!
>
Kein Thema 
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