Epsilon - Delta - Kriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Sebek |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie zu [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-3} [/mm] ein [mm] \delta [/mm] so, dass die Funktion f(x)= [mm] x^3 [/mm] - 3 im Intervall [-5,5] die [mm] \varepsilon-\delta [/mm] Definition der glm. Stetigkeit erfülllt. |
Also, nach der Def. für glm. Stetigkeit sollte das eigentlich nur eine Einsetzübung sein, irgendwo hapterts aber.
[mm] $|f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] 10^{-3} [/mm] $
[mm] $|x-x_{0}|< \delta [/mm] $
d.h. für [mm] $x_{0}=5 [/mm] $ setze ich beispielsweise
[mm] $|x^{-3}-3x [/mm] - [mm] 5^3 [/mm] +15 < [mm] 10^{-3}$, [/mm] drücke mir das x aus und setze es dann in
$|x-5|< [mm] \delta [/mm] $ ein.
Mhm, nur das führt irgendwie nicht auf das gewünschte Ergebnis- Laut Lösung ist
$ [mm] \delta [/mm] < [mm] \frac{10^{-3}}{75}.
[/mm]
Bin ich komplett am Holzweg?
Ps: Marcel versucht mir in diesem Thread: https://www.vorhilfe.de/read?i=482075 , die glm. Stetigkeit näherzubringen, ich hoffe, ich verstoße gegen keine Regeln indem ich einen neuen Thread aufmache- so wie ich die Regeln verstanden habe, soll ich das ja sogar...
Lg, und schon im vorhinein ein großes DANKE,
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wir wollen gleichmäßige Stetigkeit zeigen, deshalb dürfen wir [mm]x_0[/mm] nicht frei wählen, sondern müssen die Aussage für alle [mm]x_0[/mm] im gegeben Intervall hinkriegen.
Es seien also x und [mm]x_0[/mm] vorgegeben, o.B.d.A. sei [mm]x \geq x_0[/mm] (Ansonsten tausche x und [mm]x_0[/mm]). Wir können also schreiben [mm]x = x_0 + z[/mm] mit [mm]0 \leq z < \delta[/mm]. Eingesetzt in die Ungleichung für [mm]\epsilon[/mm] ergibt sich
[mm]|(x_0+z)^3 - 3(x_0 + z) - x_0^3 + 3x_0|<\epsilon[/mm]
[mm]|3x_0^2z + 3x_0z^2+z^3 - 3z|<\epsilon[/mm]
Dieser Betrag wird für [mm]x_0 = 5[/mm] maximal, also haben wir
[mm]|75z+15z^2+z^3-3z|< \epsilon[/mm]
Nun sind wir etwas großzügig und lassen alle quadratischen und kubischen Terme weg und kompensieren das durch die 3z. So klein wie wir unser [mm]\delta[/mm] nachher wählen wollen, ist das mehr als genug, in einer sauberen Ausarbeitung müsste man noch angeben, bis zu welchen Grenze das in Ordnung ist.
Übrig bleibt [mm]75z<\epsilon[/mm], also können wir [mm]\delta = \epsilon/75[/mm] wählen und diese Bedingung ist erfüllt.
Sophie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 So 07.12.2008 | | Autor: | Sebek |
Hallo,
wow, super, danke vielmals für die tolle & schnelle Antwort!
Eine Frage hätte ich noch: Wie meinst du, dass die quadratischen und kubischen Terme durch die 3z "kompensiert" werden können?
Darf man das immer so machen- bzw. wie argumentiere ich das?
Lg
Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 So 07.12.2008 | | Autor: | Dath |
In diesem Fall ja, denn der Term muss ja entsprechend klein werden, und man kann [mm]\varepsilon[/mm] entsprechend wählen. Zu zeigen wäre, dass der neue Term kleiner als der alte ist, und wir ihn immer noch in die Ungleichung einsetzen können.
Grundsätzlich macht man so etwas nur bei Ungleichungen, und auch nur wenn nötig.
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