EpsilonDelta Stetigkeit im R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mi 11.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | | Zeigen sie mit der [mm] \varepsilon-\delta-Definition, [/mm] dass die Funktion f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] im Punkt (0,0) stetig ist. |
Laut der Definition gilt ja:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists\delta>0 [/mm] : [mm] ||x-x_0||<\delta \Rightarrow ||f(x)-f(x_0)||<\varepsilon
[/mm]
sei nun [mm] x_0 [/mm] = (0,0) und [mm] \varepsilon>0
[/mm]
sei [mm] x=(x_1, x_2)
[/mm]
es gilt, dass [mm] ||x-x_0|| [/mm] = [mm] \wurzel{(x_1-0)^2 + (x_2-0)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{x_1^2 + x_2^2}<\delta
[/mm]
ab hier weiß ich nicht mehr wirklich weiter:
eigentlich müsste ich jetzt ja [mm] ||f(x)-f(x_0)|| [/mm] geschickte abschätzen um zu zeigen, dass es [mm] <\varepsilon [/mm] ist
[mm] ||f(x)-f(x_0)|| [/mm] = [mm] |x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2|... [/mm] hier steck ich auch schon, weil ich nicht weiß, wie ich weiter abschätzen kann und delta in die Gleichung reinbekommen sollte...
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Hallo dodo,
> Zeigen sie mit der [mm]\varepsilon-\delta-Definition,[/mm] dass die
> Funktion f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x,y) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] im Punkt (0,0)
> stetig ist.
> Laut der Definition gilt ja:
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists\delta>0[/mm] : [mm]||x-x_0||<\delta \Rightarrow ||f(x)-f(x_0)||<\varepsilon[/mm]
Du meinst: Das muss für [mm] $x_0 [/mm] = (0,0)$ erfüllt sein, damit Stetigkeit vorliegt.
> sei nun [mm]x_0[/mm] = (0,0) und [mm]\varepsilon>0[/mm]
>
> sei [mm]x=(x_1, x_2)[/mm]
> es gilt, dass [mm]||x-x_0||[/mm] =
> [mm]\wurzel{(x_1-0)^2 + (x_2-0)^2}[/mm] = [mm]\wurzel{x_1^2 + x_2^2}<\delta[/mm]
Besser: "es gelte" statt "es gilt". Die Ungleichung mit dem $delta$ ist die Voraussetzung, und du möchtest nun basierend auf dieser Voraussetzung etwas zeigen.
> ab hier weiß ich nicht mehr wirklich weiter:
> eigentlich müsste ich jetzt ja [mm]||f(x)-f(x_0)||[/mm] geschickte
> abschätzen um zu zeigen, dass es [mm]<\varepsilon[/mm] ist
> [mm]||f(x)-f(x_0)||[/mm] = [mm]|x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2|...[/mm] hier steck ich auch
> schon, weil ich nicht weiß, wie ich weiter abschätzen
> kann und delta in die Gleichung reinbekommen sollte...
Bis jetzt ist alles wunderbar.
[mm] $\delta$ [/mm] reinzubekommen ist doch gar nicht mehr schwer. Schließlich ist doch [mm] $x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] = [mm] \delta^2$.
[/mm]
Du hast also:
[mm] $||f(x)-f(x_0)|| \le \delta^2$. [/mm] (*)
Wie musst du also [mm] $\delta$ [/mm] bei vorgegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ wählen, damit (*) kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist  ?
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Do 12.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Naja...durch [mm] \delta^2<\varepsilon [/mm] komme ich durch einfache Umformung auf
[mm] \delta<\wurzel{\varepsilon}
[/mm]
z.B wenn [mm] \varepsilon=\bruch{1}{4} [/mm] -> [mm] \delta<\bruch{1}{2}
[/mm]
oder?
reicht das jetzt für den Nachweis der Stetigkeit oder müsste ich das noch anhand eines Beispiels vorführen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Do 12.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Naja...durch [mm]\delta^2<\varepsilon[/mm] komme ich durch einfache
> Umformung auf
>
> [mm]\delta<\wurzel{\varepsilon}[/mm]
>
> z.B wenn [mm]\varepsilon=\bruch{1}{4}[/mm] -> [mm]\delta<\bruch{1}{2}[/mm]
> oder?
>
> reicht das jetzt für den Nachweis der Stetigkeit
Es reicht
FRED
> oder
> müsste ich das noch anhand eines Beispiels vorführen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Do 12.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dodo,
> Zeigen sie mit der [mm]\varepsilon-\delta-Definition,[/mm] dass die
> Funktion f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x,y) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] im Punkt (0,0)
> stetig ist.
> Laut der Definition gilt ja:
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists\delta>0[/mm] : [mm]||x-x_0||<\delta \Rightarrow ||f(x)-f(x_0)||<\varepsilon[/mm]
>
> sei nun [mm]x_0[/mm] = (0,0) und [mm]\varepsilon>0[/mm]
>
> sei [mm]x=(x_1, x_2)[/mm]
> es gilt, dass [mm]||x-x_0||[/mm] =
> [mm]\wurzel{(x_1-0)^2 + (x_2-0)^2}[/mm] = [mm]\wurzel{x_1^2 + x_2^2}<\delta[/mm]
>
> ab hier weiß ich nicht mehr wirklich weiter:
> eigentlich müsste ich jetzt ja [mm]||f(x)-f(x_0)||[/mm] geschickte
> abschätzen um zu zeigen, dass es [mm]<\varepsilon[/mm] ist
> [mm]||f(x)-f(x_0)||[/mm] = [mm]|x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2|...[/mm] hier steck ich auch
> schon, weil ich nicht weiß, wie ich weiter abschätzen
> kann und delta in die Gleichung reinbekommen sollte...
eigentlich wurde ja schon alles gesagt. Ich trickse aber dennoch noch ein
wenig rum, damit Du auch eine Alternative siehst:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ fest vorgegeben, und [mm] $\delta [/mm] > 0$ zunächst noch unbestimmt.
Ist nun für [mm] $\delta' [/mm] > 0$ dann [mm] $|x_1-0|=|x_1| [/mm] < [mm] \delta'$ [/mm] und auch [mm] $|x_2-0|=|x_2| [/mm] < [mm] \delta'$, [/mm] so
gilt
[mm] $|f(x_1,x_2)-f(0,0)|={(x_1-0)}^2+{(x_2-0)}^2$ $\,<\,$ $2(\delta')^2$
[/mm]
Wir könnten also ein [mm] $\delta' [/mm] > 0$ mit $2 [mm] (\delta')^2 \le \epsilon$ [/mm] wählen. (Etwa
[mm] $\delta':=\sqrt{\epsilon/2} [/mm] > 0$!)
Die Frage an Dich: Wieso können wir eine $0 < [mm] \delta$-Kugel [/mm] bzgl. [mm] $d_{\|.\|_2}$ [/mm] so finden,
dass für alle [mm] $x=(x_1,x_2) \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $d_{\|.\|_2}(x,(0,0)) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] auch schon [mm] $|x_1| [/mm] < [mm] \delta'$ [/mm] und [mm] $|x_2| [/mm] < [mm] \delta'$
[/mm]
gilt? (Die Frage ist wichtig, denn wir suchen ja "ein passendes [mm] $\delta$"!)
[/mm]
Hinweis: Äquivalenz von Normen auf dem [mm] $\IR^n$.
[/mm]
P.S.: Selbst, wenn Dir der Hinweis nichts sagt: Überlege Dir mal, was das
Ganze anschaulich mit "Quadraten und Kreisen" im [mm] $\IR^2$ [/mm] zu tun hat.
P.P.S. Vielleicht auch noch ein Hinweis zum P.S.:
Male Dir mal ein Quadrat in den [mm] $\IR^2$, [/mm] dessen Seiten parallel zu den
Koordinatenachsen sind, der Mittelpunkt ist der Nullpunkt (Mittelpunkt
= Schnittpunkt der Diagonalen) und das die Seitenlänge $2 [mm] \delta'=\delta'-(-\delta')$
[/mm]
hat. In dieses kann man schön "Kreise mit Mittelpunkt (0,0)" zeichnen.
(Und einer dieser Kreise berührt alle 4 Kanten tangential; der Radius des
letztgenannten ist [mm] $\delta'$...).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 12.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Hallo Marcel!
Deine Frage kann ich leider auf Anhieb nicht beantworten ^^
Die Grafische deutung des EpsilonDelta-Kriteriums in [mm] \IR [/mm] ist mir schon klar, also dass für alle x-Werte, die in einer Delta Umgebung von [mm] x_o [/mm] liegen, auch alle f(x)-Werte in einer Epsilon Umgebung von [mm] f(x_o) [/mm] liegen!
Und jetzt achtung, vielleicht schreib ich jetzt kompletten Blödsinn ^^:
die Norm gibt in diesem Fall ja einen Abstand an, also dass der Abstand zwischen f(x) und [mm] f(x_0) [/mm] kleiner als ein Epsilon größer 0 ist!
in deinem Falls ist [mm] |x_i-0|<\delta^´ [/mm] ja jeweils der Abstand zu einer Komponente!
Und [mm] \delta [/mm] wird ja jetzt so gewählt, dass es größer als der Abstand vom [mm] (x_1, x_2) [/mm] zum (0,0) Vektor ist!
Und wahrscheinlich besteht zwischen [mm] \delta [/mm] und [mm] \delta^´ [/mm] ein nicht allzu kleiner Zusammenhang ^^
Beantwortet zwar wahrscheinlich nicht deine Frage, aber dass war ein kleiner Gedankengang, den ich beim durchlesen hatte ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Do 12.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dodo,
> Hallo Marcel!
>
> Deine Frage kann ich leider auf Anhieb nicht beantworten
> ^^
>
> Die Grafische deutung des EpsilonDelta-Kriteriums in [mm]\IR[/mm]
> ist mir schon klar, also dass für alle x-Werte, die in
> einer Delta Umgebung von [mm]x_o[/mm] liegen, auch alle f(x)-Werte
> in einer Epsilon Umgebung von [mm]f(x_o)[/mm] liegen!
>
> Und jetzt achtung, vielleicht schreib ich jetzt kompletten
> Blödsinn ^^:
> die Norm gibt in diesem Fall ja einen Abstand an, also
> dass der Abstand zwischen f(x) und [mm]f(x_0)[/mm] kleiner als ein
> Epsilon größer 0 ist!
>
> in deinem Falls ist [mm]|x_i-0|<\delta^´[/mm] ja jeweils der
> Abstand zu einer Komponente!
ja, aber im [mm] $\IR^2$ [/mm] darf man ruhig auch mal ein bisschen geometrisch denken:
Die Menge
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2:\;\; |x| < \delta',\;|y| < \delta'\}$
[/mm]
ist nichts anderes als ein(e) Quadrat(fläche) mit Mittelpunkt (0,0) und Seitenlänge
$2 [mm] \delta'$, [/mm] wobei der Rand nicht dazugehört.
> Und [mm]\delta[/mm] wird ja jetzt so gewählt, dass es größer als
> der Abstand vom [mm](x_1, x_2)[/mm] zum (0,0) Vektor ist!
??? Ich hatte [mm] $\delta' :=\sqrt{\epsilon/2}$ [/mm] gesetzt. Nun sind aber $0 < [mm] \delta$-Umgebungen
[/mm]
(von (0,0)) in der "Standard-Metrik" eigentlich offene Kreisscheiben. Ich habe
vorgerechnet, dass alles, was innerhalb der obenstehenden Quadratfläche
liegt, erfüllt, dass deren Funktionswert einen Abstand zu $f(0,0)=0$ haben, der
echt kleiner als [mm] $\epsilon$ [/mm] ist. Also liegt es nahe, nun eine offene Kreisscheibe
mit Mittelpunkt (0,0) innerhalb dieser Quadratfläche anzugeben.
> Und wahrscheinlich besteht zwischen [mm]\delta[/mm] und [mm]\delta^´[/mm]
> ein nicht allzu kleiner Zusammenhang ^^
>
> Beantwortet zwar wahrscheinlich nicht deine Frage, aber
> dass war ein kleiner Gedankengang, den ich beim durchlesen
> hatte ;)
Jetzt klarer? Oder soll ich mal versuchen, dazu ein Bild zu malen? Wobei ich
es besser fände, wenn Du das machst. 
Gruß,
Marcel
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