Epsilon-Delta Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mo 04.02.2008 | | Autor: | DerJack |
| Aufgabe | a) [mm] sign(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } x \mbox{>0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{=0}\\-1, & \mbox{für } x \mbox{<0} \end{cases}
[/mm]
b)f(x)=2x
[mm] c)f(x)=\begin{cases} x-2, & \mbox{für } x < 0 \\ x+2, & \mbox{für } x \ge 0 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dem Nachweis von Stetigkeit per Epsilon-Delta-Kriterium.
Was ich hinbekomme (glaube ich zumindest, könnte vielleicht auch grad mal jemand sagen ob das so machbar und richtig ist) ist die Unstetigkeit von Treppenfunktion zu zeigen (z.b. Heavyside oder Signum)
a)
Wähle [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\epsilon}{2}, [/mm] a=0, x= [mm] a+\bruch{\delta}{2}
[/mm]
[mm] |f(x)-f(a)|<\epsilon
[/mm]
[mm] |f(0+\bruch{\delta}{2})-f(0)|<\epsilon
[/mm]
[mm] |1-0|<\epsilon
[/mm]
[mm] 1<\epsilon(=\bruch{1}{2})
[/mm]
Widerspruch
b)
Allerdings weiß ich nicht genau wie ich die Stetigkeit selbst von einfachen Funktionen wie f(x) = 2x beweisen soll. Hier kann ich ja nicht einfach ein konkretes [mm] \epsilon [/mm] wählen und nen Widerspruch erzeugen. Mein Hauptproblem liegt eigentlich auch darin wie ich [mm] \epsilon [/mm] in abhängigkeit vom Punkt und [mm] \delta [/mm] zu wählen habe.(Bitte keine Antwort wie, dass sieht man am Ende einfach, würde mich hier dann ganz gerne über Erläuterungen freuen, wo genau ich das sehe). Wäre vielleicht nett wenn jemand einfach das Beispiel f(x)=2x rechnen könnte mit Erläuterungen und ich schau dann wie weit ich das verstehe.
c)
Um vielleicht weiter mein Problem zu erläutern.
Wähle [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , a=0, x= [mm] a+\bruch{\delta}{2}, (\delta [/mm] sei einmal kurz offen gelassen)
[mm] |x-a|<\delta
[/mm]
[mm] |0+\bruch{\delta}{2}-0|<\delta
[/mm]
[mm] \bruch{\delta}{2}<\delta
[/mm]
[mm] |f(x)-f(a)|<\epsilon
[/mm]
[mm] |f(0+\bruch{\delta}{2})-f(0)|<\epsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{\delta}{2}+2 [/mm] -( [mm] 0+2)|<\epsilon
[/mm]
[mm] \bruch{\delta}{2}<\epsilon
[/mm]
Je nachdem wie ich jetzt [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] gewählt habe ist die Funktion stetig/unstetig, aber das kann ja nicht sein, da sie eindeutig unstetig sein sollte.
Beispiel: [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{\delta}{2} [/mm] -> unstetig, [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \delta [/mm] ->stetig
Vermutlich hab ich einfach nur irgendwo nen ganz derben Denkfehler. Hoffe mir kann jemand helfen. Danke schonmal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:36 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo.
Wenn du einen Widerspruch erzeugen willst, dann musst du zeigen dass die Negierung der Behauptung stimmt.
D.h. :
nicht stetig in [mm] x_0=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] nicht( [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x mit [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] gilt: [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon) [/mm] für [mm] x_0=0
[/mm]
[mm] \gdw \exists \epsilon [/mm] >0 [mm] \forall \delta [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] x mit [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] und: [mm] |f(x)-f(x_0)|>\epsilon [/mm] für [mm] x_0=0
[/mm]
also [mm] \epsilon [/mm] =0,5 [mm] \forall \delta [/mm] >0 [mm] \exists x=\bruch{1}{n}<\delta [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] groß genug, so dass folgt [mm] |f(x)-f(x_0)|=|1-0|=1>\epsilon
[/mm]
bedeutet : nicht stetig
Bei b) soll nun Stetigkeit gezeigt werden.
Man muss dazu das [mm] \delta [/mm] finden, welches laut Aussage existieren muss.
kurz : Für welche x gilt [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] für ein vorgegebenes [mm] \epsilon [/mm] ?
Wie man am Ende einfach sieht gilt für diese x:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|2*x-2*x_0|=2*|x-x_0|<\epsilon
[/mm]
[mm] \gdw |x-x_0|<\bruch{\epsilon}{2}=\delta
[/mm]
Ciao.
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