Entwicklung von \wurzel{2} < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Hrungnir |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, daß [mm] inf\{abs(\wurzel{2}x - y) | x,y \in \IN\} [/mm] = 0 |
Hallo,
Mein Ansatz: Ich betrachte die Folge [mm] (x,y)^{n}=(10^n, [10^n*\wurzel{2}10^n]), [/mm] wobei [x] für die Gaußklammer steht, die auf die nächst kleinere ganze Zahl abrundet. Ich zeige weiter, das [mm] \wurzel{2}x^{n}-y^{n} [/mm] die Entwicklung der Zahl [mm] \wurzel{2} [/mm] ab der Position n+1 abbildet. Nun gilt, daß für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] m\in\IN [/mm] existiert, sodaß [mm] 2^{-m}<\varepsilon. [/mm] Weiter will ich nun argumentieren, daß die obige Folge dies immer unterschreitet, d.h., wenn [mm] \wurzel{2}=1,a_{1}...a_{i}... [/mm] mit [mm] i\in\IN [/mm] und [mm] a_{i}\in\{0,1\} \forall i\in\IN, [/mm] dann existiert ein [mm] i_{0}, [/mm] so dass [mm] 0=a_{i+j} \forall j\in\{0,1,...,m\}. [/mm] Ich meine, daß dies gilt, weiß aber nicht, wie ich das beweisen kann; denn allein die Irrationalität von [mm] \wurzel{2} [/mm] reicht nicht aus. Denn [mm] (0,10110111011110...)_{2}, [/mm] wobei immer eine 1 mehr zwischen den Nullen ist, ist nicht periodisch und damit irrational, wobei höchstens eine Null in Folge auftritt.
Ich hoffe, meine Fragestellung ist verständlich. Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus,
mfg Hrungnir
edit: 1316 (Danke für den Hinweis)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Hast Du die Aufgabenstellung wirklich richtig widergegeben ?
Diese Menge
$ [mm] \{\wurzel{2}x - y | x,y \in \IN\} [/mm] $
ist nicht nach unten beschränkt !!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Fr 20.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred
> Hast Du die Aufgabenstellung wirklich richtig widergegeben
> ?
> Diese Menge
>
> [mm]\{\wurzel{2}x - y | x,y \in \IN\}[/mm]
>
> ist nicht nach unten beschränkt !!
Ich vermute mal, er hat einfach die Betragsstriche vergessen.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Sa 21.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie, daß [mm]inf\{abs(\wurzel{2}x - y) | x,y \in \IN\}[/mm] =
> 0
>
> Hallo,
>
> Mein Ansatz: Ich betrachte die Folge [mm](x,y)^{n}=(10^n, [10^n*\wurzel{2}10^n]),[/mm]
> wobei [x] für die Gaußklammer steht, die auf die nächst
> kleinere ganze Zahl abrundet. Ich zeige weiter, das
> [mm]\wurzel{2}x^{n}-y^{n}[/mm] die Entwicklung der Zahl [mm]\wurzel{2}[/mm]
> ab der Position n+1 abbildet.
Genau. Allerdings die Dezimalentwicklung, weiter unten interessierst du dich fuer die Binaerentwicklung.
> Nun gilt, daß für jedes
> [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]m\in\IN[/mm] existiert, sodaß
> [mm]2^{-m}<\varepsilon.[/mm] Weiter will ich nun argumentieren, daß
> die obige Folge dies immer unterschreitet, d.h., wenn
> [mm]\wurzel{2}=1,a_{1}...a_{i}...[/mm] mit [mm]i\in\IN[/mm] und
> [mm]a_{i}\in\{0,1\} \forall i\in\IN,[/mm] dann existiert ein [mm]i_{0},[/mm]
> so dass [mm]0=a_{i+j} \forall j\in\{0,1,...,m\}.[/mm] Ich meine, daß
> dies gilt, weiß aber nicht, wie ich das beweisen kann;
Ich weiss nicht ob das gilt. Spontan wuerde ich erstmal dran zweifeln :)
> denn
> allein die Irrationalität von [mm]\wurzel{2}[/mm] reicht nicht aus.
> Denn [mm](0,10110111011110...)_{2},[/mm] wobei immer eine 1 mehr
> zwischen den Nullen ist, ist nicht periodisch und damit
> irrational, wobei höchstens eine Null in Folge auftritt.
Genau.
Ich weiss nicht was genau ihr in der Vorlesung etc. bisher hattet. Je nachdem was ihr hattet gibt es andere, sehr elegante Loesungen, diese Aufgabe in Angriff zu nehmen.
Du willst ja, dass [mm] $\sqrt{2} [/mm] x + y$ klein wird. Wenn du $x$ fest waehlst, kannst du $y$ beliebig aus den ganzen Zahlen waehlen. Du bist also sozusagen interessiert an [mm] $\sqrt{2} [/mm] x$ modulo 1, und dies moechtest du ganz klein bekommen.
Fuer festes $x > 1$ betrachte doch mal $0$, [mm] $\sqrt{2}$, [/mm] $2 [mm] \sqrt{2}$, [/mm] $3 [mm] \sqrt{2}$, \dots, [/mm] $(x - 1) [mm] \sqrt{2}$, [/mm] $x [mm] \sqrt{2}$ [/mm] modulo 1. Dies sind alles verschiedene Zahlen (ansonsten waere [mm] $\sqrt{2} \in \IQ$). [/mm] Jetzt betrachte doch mal die disjunkte Vereinigung $[0, 1) = [0, [mm] \frac{1}{x}) \cup [\frac{1}{x}, \frac{2}{x}) \cup \dots \cup [\frac{x-1}{x}, \frac{x}{x})$; [/mm] da du $x + 1$ Zahlen auf diese $x$ Intervalle verteilst, liegen zwei Zahlen in einem Intervall. Welchen Abstand koennen sie voneinander haben? Was bedeutet das, wenn du sie voneinander abziehst?
LG Felix
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Hallo,
vielen Dank für die Antwort. Wenn ich nun annehme, daß [mm] i*\wurzel{2} [/mm] mod 1 und [mm] j*\wurzel{2} [/mm] mod 1 in einem Intervall liegen, dann weiß ich, daß die Diefferenz kleiner 1/x ist, aber ist sie auch gleich [mm] (i-j)*\wurzel{2} [/mm] mod 1 (OBdA i>j)?? Wenn nein, versteh' ich nicht ganz, wie ich weiter machen soll.
Zweitens: Sollte ich nicht bei [mm] 1*\wurzel{2} [/mm] mod 1 anfangen und bis [mm] (n+1)*\wurzel{2} [/mm] gehen, da [mm] x,y\in\IN [/mm] gefordert ist; oder!?
Hoffe auf Antwort, vielen Dank,
Gruß Hrungnir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Di 24.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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