Energie einer Schwingung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Ich habe meine Frage auch hier gestellt: http://www.physikerboard.de/topic,30345,-energie-einer-harmonischen-schwingung.html
Es gilt ja:
[mm] $z(t)=\hat [/mm] z [mm] \sin (\omega t+\varphi) [/mm] =: [mm] \hat [/mm] z s$
[mm] $c:=cos(\omega t+\varphi)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow E=\frac{m}{2}{\dot z}^2 [/mm] + [mm] \int_0^{z(t)} \underbrace{F}_{=-m\ddot z}\cdot [/mm] ds = [mm] \frac{m}{2}{\dot z}^2 [/mm] -m [mm] \int (-\omega^2 [/mm] z) dz = [mm] \frac{m}{2}\left[(-\omega)^2 {\hat z}^2 c^2 + \omega^2 {\hat z}^2 s^2\right] =\frac{m}{2} {\hat z}^2 [/mm] $
So weit so gut.
nun habe ich aber:
$z(t)=A(t)x(t)$ mit
[mm] $A(t)=\hat A\sin(\Omega t+\Phi)=:\hat [/mm] A [mm] \mathrm [/mm] S$ und [mm] $\cos(\Omega t+\Phi)=: \mathrm [/mm] C$
[mm] $x(t)=\hat [/mm] x [mm] \sin(\omega t+\varphi)=:\hat [/mm] x s$ und [mm] $\cos(\omega t+\varphi)=:c$
[/mm]
In der Vorlesung wurde nun einfach gesagt:
[mm] $E(t)=\frac{m}{2} \omega^2 A(t)^2 [/mm] $
Aber ich bekomme das nicht hergeleitet.
Im konkreten Fall war [mm] $\Omega=\omega_1-\omega_2 \ll \omega_1+\omega_2=\omega$ [/mm] (schwach gekoppelte Pendel), sodass A(t) viel langsamer als x(t) ist, sodass man als Näherung vlt. sagen darf [mm] $A(t)~\text{const.}$. [/mm] Ich glaube weniger, dass er nur eine Näherung benutzt hat, weil es brauchte wurde um zu beweisen, dass die Gesamtenergie konstant ist.
Im konkreten Fall war auch: [mm] $\Phi=\varphi=0$
[/mm]
Mein bester Ansatz bisher ist:
[mm] $E=\frac{m}{2} {\dot s}^2 \mathrm{- \int_0^{s(t)} m\ddot s' ds'} \Leftrightarrow$
[/mm]
mit [mm] $\ddot [/mm] s = [mm] \underbrace{\ddot A}_{=-\Omega^2 A} [/mm] x + [mm] 2\dot A\dot [/mm] x [mm] +\underbrace{\ddot x}_{=-\omega^2 x} [/mm] A= [mm] 2\dot A\dot [/mm] x - [mm] (\omega^2+\Omega^2)s$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \int_0^{s(t)} \ddot [/mm] s' ds' = [mm] \int_0^{s(t)} 2\dot A\dot [/mm] x ds' - [mm] \int_0^{s(t)} (\omega^2+\Omega^2)s' [/mm] ds' = [mm] \int_0^{s(t)} 2\dot A\dot [/mm] x ds' - [mm] \frac{1}{2}(\omega^2+\Omega^2)s^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow E/m=\frac{1}{2}\left( \underbrace{{\dot A}^2 x^2 \mathrm{ +\Omega^2 A^2 x^2 }}_{=\Omega^2 {\hat A}^2}+\underbrace{{\dot x}^2 A^2 \mathrm{+\omega^2 A^2 x^2}}_{={\hat x}^2 \omega^2} \right) [/mm] + [mm] A\dot [/mm] A [mm] x\dot [/mm] x [mm] \mathrm{-\int_0^{s(t)} 2\dot A\dot x ds'} \Leftrightarrow$
[/mm]
Wie integriere ich das übrig gebliebene Integral? (rein aus Interesse)
Mein Versuch wäre jetzt: $A(t)$ und $x(t)$ einsetzen. Substitution mit "s(t)=A(t)x(t)", dann erhalte ich:
[mm] $-\int_0^{s(t)} 2\dot A\dot [/mm] x ds' = -2 [mm] \int_{(0)}^{(s(t))}{\dot A}^2x \dot [/mm] x dt -2 [mm] \int_{(0)}^{(s(t))}{\dot x}^2 [/mm] A [mm] \dot [/mm] A dt$
Und ab hier wird alles unschön, wenn es überhaupt eine zulässige Substitution ist. Die Integrationsgrenze steht in Klammern, weil ich die ungern Transformiere, stattdessen versuche ich dann das Integrierte wieder in Termen von s(t) umzuschreiben und zu resubstituieren.
Wenn man nicht von obigen konkreten Fall ausgeht, dann müsste man annehmen, dass die Formel symmetrisch sein muss, weil man nicht weiß, was die Modulationsamplitude ist, sodass gelten müsste:
[mm] $\frac{m}{2}A(t)^2 \omega^2=\frac{m}{2}x(t)^2 \Omega^2 \Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow |\omega\hat A\sin(\Omega t+\Phi)|=|\Omega \hat [/mm] x [mm] \sin(\omega t+\varphi)|$
[/mm]
Mit ein paar verschiedenen Primzahlen für die Variablen geplottet ergibt sich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sehend, dass die Differenz nicht 0 ist und damit die Gleichheit falsch ist, vergeht mir eigentlich die Lust und ich will nur noch wissen, was der Prof da gemacht hat.
Meine Mitschrift:
Einführung: Trägerfrequenz [mm] $\omega_{mit}=\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
[/mm]
[mm] $\omega_{mod}=\frac{\omega_2-\omega_1}{2}$
[/mm]
[mm] $x_A(t)=A\left[ \cos (\omega_{mit}+\omega_{mod})t)+\cos (\omega_{mit}-\omega_{mod})t\right]=2A\cos\omega_{mod}t \cdot \cos \omega_{mit} t=A(t)\cos \omega_{mit}t$
[/mm]
[mm] $x_B(t)=2A\sin\omega_{mod}t\cdot\sin\omega_{mit}t
[/mm]
[Graphen von [mm] $x_A$ [/mm] und [mm] $x_B$]
[/mm]
Energietransport A->B:
[mm] $E_A=\frac{1}{2}m v_A^2 [/mm] = [mm] 2mA^2\omega_{mit}^2\cos^2 \omega_{mod}t$
[/mm]
[mm] $E_B=\frac{1}{2}m \dot x_B^2 [/mm] = [mm] 2mA^2\omega_{mit}^2\sin^2 \omega_{mod}t$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow E_A+E_B=2mA^2\omega_{mit}^2 [/mm] = [mm] \text{const}$
[/mm]
[mm] $E_A-E_B=E_{ges}\cdot(\cos^2\omega_{mod}t-\sin^2\omega_{mod}t)=E_{ges}\cos (2\omega_{mod} [/mm] t)$
Die erste Gleichheit von [mm] $E_A$ [/mm] sieht schon irgendwie falsch aus. Hatte da auch erst stupide versucht mit [mm] $v_A=\dot x_A$ [/mm] zu rechnen, was auch nicht wegführend war.
Es ist nicht einmal physikalisch sinnvoll, da es bei schwach gekoppelten Pendeln ja den Fall gibt, dass ein Pendel beinahe ruht und das andere alleine pendelt. In diesem Fall sieht man aber gut, dass $E_pot$ nicht konstant sein kann, sodass auch die Summe der kinetischen Energien nicht konstant sein kann. Aber [mm] $E_A=\frac{1}{2}m v_A^2$ [/mm] ist nur die kinetische Energie.
Zudem kam ich dann nie auf die zweite Gleichheit, die dann wieder die obig besprochene Formel zu benutzen scheint]
Kann leider trotz allem keine Fehler in meiner Mitschrift ausschließen, wobei aber sehr grobe Fehler doch eher unwahrscheinlich sind. Vor allem da bei [mm] $E_A$ [/mm] und bei [mm] $E_B$ [/mm] die erste Gleichheit die gleiche ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 So 28.10.2012 | | Autor: | maxiantor |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zur Energie: Habe mir das Leben schwerer gemacht als es ist:
$x_A(t)=A(t)x(t)=2A \sin \alpha \sin \beta = A\cos (\alpha-\beta)-A\cos (\alpha+\beta)=A\cos ((\omega-\Omega)t+\varphi-\Phi)-A\cos ((\omega + \Omega )t + \varphi + \Phi)$
$\Rightarrow E=\sum_i \frac{m}{2} A_i^2 \omega_i^2 = \frac{m}{2} A^2 }\underbrace{\left[ (\omega-\Omega)^2 + (\omega + \Omega )^2 \right]}_{2\omega^2+2\Omega^2}= m A^2 (\omega^2+\Omega^2)$
Aber darum ging es wahrscheinlich nicht, weil damit die Energien immer konstant sind.
Es scheint, als nähere man wirklich die Modulationsfrequenz als viel größer an, sodass man die Trägerfrequenz als virtuellen zeitabhängigen HOSZ ansieht. Und dann betrachtet man die Energieübertragung auf diese.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Fr 02.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die energiebetrachtung deines Profs geht davon aus, dass man bei jeder Schwingung die Gesamtenergie durch die maximale Geschwindigkeit z'_{max} oder die max. elongation z_max susdrücken kann daher der ausdruck [mm] m/2z'{max}=m/2\omega^2*A^2
[/mm]
wenn a(t) abhängt ist das noch immer so., da braucht es keine Näherung.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Fr 02.11.2012 | | Autor: | maxiantor |
Da habe ich wohl das einfachste gekonnt ignoriert. Danke.
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