Endomorphismus Eigenwert < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V=R^2x2 der R Vektoraum aller 2x2 Matrizen mit Einträgen in R. Betrachten wir den Endomorphismus f: V-> V , M -> [mm] M^T [/mm] der jeder Matrix M ihre Transpornierte zuordnet.
1. Bestimmen sie die Eigenwerte und Eigenräume von f. Ist f diagonalisierbar?
2. Was ändert sich wenn sie R durch Z2 = {0,1} ersetzen? |
Ich brauche ganz dringend Hilfe dazu und zwar ist mir zwar klar wie ich die Eigenwerte und räume einer Matrix bestimme und auch wie ich rausfinde ob sie diagonalisierbar ist aber ich weiß nicht wie ich das bei einem Endomorphismus mache.
Hab auch schon in anderen Foren geguckt und die sagen da ich soll die Darstellungsmatrix berrechnen aber ich hab ja auch keine Basen dazu gegeben.
Ich hab mir dazu halt überlegt das das ja eine 2x2 Matrix sein müsste aber halt keine Ahnung wie die aussehen könnte außer [mm] \pmat{ a11 & a21 \\ a12 & a22 }.
[/mm]
Davon würde ich dann das charackteristische polynom bilden und die Nullstellen bestimmen usw.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
hier braucht man auch keine Abbildungsmatrix ausrechen.(Deshalb ist wohl auch keine Basis gegeben).
Zuersteinmal ist der gegebene Endomorphismus ein Automorphismus, das heißt er ist bijektiv (Die Umkehrabbildung ist leicht anzugeben), das heißt, wir wissen schon mal, dass 0 kein EW ist (Wieso?).
Ein Eigenwert ist 1. Der Eigenraum zum Eigenwert 1 sind die symmetrische Matrizen, das heißt Matrizen für die gilt: [mm] $A^{T}=A$. [/mm] Versuch die mal eine Basis des Eigenraums aufzuschreiben(dieser wird dreidimensional sein).
Viele Grüße
Blasco
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