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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Di 29.04.2008 | | Autor: | Aleksa |
| Aufgabe | Es sei f: V-> V ein Endomorphismus eines end-dim VR.
zeigen sie : es gibt eindeutig bestimmte Endomorphismen N,D:V-> V mit den folgenden Eigenschaften:
1) D ist diagonalisierbar, N ist nilpotent
2)ND=DN
3)f=D+N |
Hallo alle zusammen,
ich hätte eine Frage und zwar , weiss ich nicht genau, wie ich die Eindeutigkeit zeigen soll! Die Eigenschaften habe ich bewiesen!
Hoffe einer kann mir einen Tip geben...dankee!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Di 29.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es sei f: V-> V ein Endomorphismus eines end-dim VR.
> zeigen sie : es gibt eindeutig bestimmte Endomorphismen
> N,D:V-> V mit den folgenden Eigenschaften:
> 1) D ist diagonalisierbar, N ist nilpotent
> 2)ND=DN
> 3)f=D+N
>
> ich hätte eine Frage und zwar , weiss ich nicht genau, wie
> ich die Eindeutigkeit zeigen soll! Die Eigenschaften habe
> ich bewiesen!
Ich wuerd es so machen: erstmal schreibst du $f = D + N = D' + N'$ mit zwei Paaren solcher Matrizen, also $D, N$ wie oben und $D', N'$ ebenfalls mit $D' N' = N' D'$ und $D$ diag'bar, $N'$ nilpotent.
Dann betrachtest du $D - D'$. Du musst zeigen, dass es diagonalisierbar ist; dazu zeige, dass $D$ und $D'$ simultan diagonalisierbar sind (dies folgt aus $D D' = D' D$); das hattet ihr sicher schonmal als Resultat in der VL oder als Uebungsaufgabe. Dann schau dir $N' - N$ an; dies ist nilpotent (da ebenfalls $N' N = N N'$ ist).
Tja, und jetzt hast du also einen diagonalisierbaren Endomorphismus, welcher nilpotent ist. Welcher kann das sein? :)
LG Felix
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