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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:54 So 24.02.2008 | | Autor: | falko43 |
Guten Morgen!
Ich hatte in einer Klausur folgende Aufgabe zu lösen:
a) Beschreiben Sie das Problem der Diagonalisierbarkeit eines Vektorraumendomorphismus und seiner Lösung mit Hilfe der Eigenwerttheorie.
b) Geben Sie ein Beispiel eines nichtdiagonalisierbaren Endomorphismus und beschreiben Sie die Transformation auf die Jordansche Normalform.
Kann mir da jemand bei der Musterlösung helfen? Ich bin etwas überfordert...
Danke!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 So 24.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Falko,
als Anfang hilft dir vielleicht schon folgendes (ich weiß nicht, wie ausführlich da eine Antwort von euch erwartet wird):
a.) Das Problem der Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus ist das Problem, eine Basis (bzw. Transformationsmatrix) so zu finden, dass die Matrixdarstellung des Endomorphismus bzgl. dieser Basis eine Diagonalmatrix ist.
Die Eigenwerttheorie löst das Problem wie folgt: Ist die Summe der Dimensionen aller Eigenräume des Endomorphismus' genau gleich der Dimension des Vektorraums selbst, dann ist der Endomorphismus diagonalisierbar. Wählt man die Basisvektoren aller Eigenräume als Spalten eine Matrix M, so sind $M$ und [mm] $M^{-1}$ [/mm] die Transformationsmatrizen, das heißt, [mm] $M^{-1}AM$ [/mm] hat Diagonalform, wobei $A$ eine Darstellung des Endomorphismus' als Matrix ist.
b.) Aus obiger Beschreibung ergibt sich, dass ein Endomorphismus nur dann diagonalisierbar ist, wenn das Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat, jeder Eigenwert im Minimalpolynom also nur Ordnung 1 hat. Als nicht-diagonalisierbaren Endomorphismus kann man z.B. also einen wählen, dessen Minimalpolynom auch doppelte Nullstellen hat, z.B.
[mm] $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&-1\\0&0&3\end{pmatrix}$
[/mm]
Die Eigenwerte sind 1 und 3, wobei beide Eigenräume eindimensional sind. (Das Problem ist dabei, dass der Faktor (x-3) im charakteristischen Polynom quadratisch auftaucht, also mit Ordnung 2. Man würde also erwarten, dass der Eigenraum zu 3 auch zweidimensional ist. Ist er aber nicht, es gibt also "zu wenige Eigenvektoren zum Eigenwert 3".)
Der Endomorphismus mit der Darstellung A ist also nicht diagonalisierbar. Man nimmt deshalb nun nicht die Basisvektoren der Eigenräume, sondern verallgemeinert die Eigenräume. Man berechnet die Kerne zu [mm] $(A-\lambda_i Id)^{m_i}$, [/mm] wobei [mm] $m_i$ [/mm] die Ordnung vom i-ten Eigenwert im Minimalpolynom ist. Dann nimmt man die Basisvektoren von diesen Kernen alle zusammen als Spalten einer Matrix $T$. Diese ist dann die Transformationsmatrix. Oder anders ausgedrückt: Nimmt man die Basisvektoren der Kerne zusammen, so bilden sie eine Basis vom ganzen Vektorraum, bzgl. derer der Endomorphismus Diagonalkästchengestalt hat. Dabei kann man die Basen der Kerne immer auch so wählen, dass die Diagonalkästchenform genau die Jordanform ist.
Ich weiß nicht, ob's wirklich eine Musterlösung ist, aber vielleicht hilft es dir dabei, eine Musterlösung zu erstellen.
Lieben Gruß,
Manatu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Mi 27.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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