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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Di 23.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Betrachten Sie den [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller reellen Zahlenfolgen. Dann ist (End(V), +, [mm] \circ) [/mm] ein Ring mit [mm] 1=id_{V} [/mm] .
a) Finden Sie ein Element L [mm] \in [/mm] End(V), das ein Linksinverses (bzgl. [mm] \circ), [/mm] aber kein Rechtsinverses besitzt.
b) Finden Sie ein Element L [mm] \in [/mm] End(V), das ein Rechtsinverses, aber kein Linksinverses besitzt. |
Hallo,
ich hab etwas Probleme mit der oben stehenden Aufgabe. Was ich weiß ist, dass ich ein L finden muss, dass gilt: [mm] \exists L^{-1} [/mm] mit [mm] L^{-1} \circ [/mm] L = [mm] id_{V} [/mm] aber L [mm] \circ L^{-1}\not=id_{V}.
[/mm]
Wie muss ich hier vorgehen und was haben die Zahlenfolgen damit zu tun?? Unsere Tutorin hat gesagt, wir sollen es mit Injektivität und Surjektivität versuchen. Weiß aber leider trotz des Tipps nicht weiter?
Hat hier jemand nützliche Tipps oder Vorschläge??
Danke schon mal.
Gruß Michi
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Hallo und guten Tag,
es ist ja
[mm] V=\{(a_1,a_2,a_3,\ldots )\: |\: a_i\in\IR\: (i\in\IN)\}
[/mm]
und
End(V)= die Menge aller linearen Abb. von V nach V.
Wenn nun [mm] L\in [/mm] End(V) injektiv ist, so besitzt es ein Linksinverses, wir setzen einfach
J(a)=b genau dann, wenn L(b)= a
und J(a)= 0 (die Abb., die jede Folge auf die 0-Folge abbildet) sonst.
Dieses J ist linear und Linksinverses zu L.
Ist zusätzlich L nicht surjektiv, so besitzt es kein Rechtsinverses, denn wenn doch, so sein H ein solches, aber
dann nimm [mm] a\in V\setminus [/mm] L(V), und es gilt dann offenbar nicht L(H(a))=a, nicht wahr ?
Beispiel: [mm] L((a_1,a_2,\ldots))=(0,a_1,a_2,\ldots [/mm] )
Den Rest schaffst Du dann schon selbst, ok ?
Gruss + frohes Schaffen,
Mathias
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